۴ دانش آموز کلاس دوم و ۵ دانش آموز کلاس سوم قرار است کنار هم در یک ردیف بایستند. تعداد حالاتی که دانش آموزان کلاس دوم یک در میان هستند. چند برابر تعداد حالاتی است که دانش آموزان کلاس سوم کنار هم هستند؟

برای حل این مسأله، دو حالت مختلف را بررسی می‌کنیم:

### 1. دانش‌آموزان کلاس دوم یک در میان باشند:
فرض کنیم که 4 دانش‌آموز کلاس دوم و 5 دانش‌آموز کلاس سوم داریم. اگر دانش‌آموزان کلاس دوم یک در میان قرار بگیرند، موقعیت‌های آنها باید به گونه‌ای باشند که در هر موقعیت بین دو دانش‌آموز کلاس سوم یک دانش‌آموز کلاس دوم قرار بگیرد. بنابراین، مکان‌هایی که برای دانش‌آموزان کلاس دوم می‌توان انتخاب کرد، مشخص است.

ابتدا دانش‌آموزان کلاس سوم را می‌چینیم. برای 5 دانش‌آموز کلاس سوم 5! حالت وجود دارد:

\[
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
\]

سپس، دانش‌آموزان کلاس دوم را بین آن‌ها قرار می‌دهیم. چون مکان‌های دانش‌آموزان کلاس دوم بین دانش‌آموزان کلاس سوم مشخص است، 4 جایگاه برای قرار دادن دانش‌آموزان کلاس دوم داریم که ترتیب آن‌ها نیز اهمیت دارد. پس تعداد حالت‌های قرار دادن دانش‌آموزان کلاس دوم برابر است با 4!:

\[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
\]

در نتیجه، تعداد کل حالاتی که دانش‌آموزان کلاس دوم یک در میان باشند، برابر است با:

\[
120 \times 24 = 2880
\]

### 2. دانش‌آموزان کلاس سوم کنار هم باشند:
اگر دانش‌آموزان کلاس سوم بخواهند کنار هم باشند، می‌توانیم آن‌ها را به عنوان یک گروه واحد در نظر بگیریم. این گروه واحد همراه با 4 دانش‌آموز کلاس دوم در کل 5 عنصر داریم که می‌توانیم آنها را در 5! حالت بچینیم:

\[
5! = 120
\]

از آنجا که درون این گروه واحد از 5 دانش‌آموز کلاس سوم نیز ترتیب وجود دارد، تعداد حالت‌های چیدن آن‌ها نیز برابر با 5! است:

\[
5! = 120
\]

در نتیجه، تعداد کل حالاتی که دانش‌آموزان کلاس سوم کنار هم باشند برابر است با:

\[
120 \times 120 = 14400
\]

### نسبت تعداد حالت‌ها:
اکنون نسبت این دو تعداد حالت را محاسبه می‌کنیم:

\[
\frac{14400}{2880} = 5
\]

بنابراین، تعداد حالاتی که دانش‌آموزان کلاس سوم کنار هم هستند 5 برابر تعداد حالاتی است که دانش‌آموزان کلاس دوم یک در میان هستند.

### سوالات مرتبط:
1. اگر تعداد دانش‌آموزان کلاس دوم و سوم یکسان باشد، نسبت تغییر می‌کند؟
2. اگر فقط 3 دانش‌آموز کلاس سوم وجود داشته باشد، چه تاثیری بر پاسخ دارد؟
3. آیا می‌توان فرض کرد دانش‌آموزان هیچ تفاوتی در جایگیری ندارند؟ در این صورت، جواب چه تغییری خواهد کرد؟
4. اگر فقط دانش‌آموزان کلاس سوم بخواهند کنار هم نباشند، چه شرایطی را باید در نظر گرفت؟
5. چگونه این مسأله در حالت کلی با تعداد نامساوی کلاس‌ها تغییر می‌کند؟

### نکته:
در مسائل ترکیباتی، همیشه توجه به ترتیب و جایگاه‌ها از اهمیت بالایی برخوردار است.

Solve a combinatorial problem involving the arrangement of 4 second-grade and 5 third-grade students in a row. Learn how to calculate the number of arrangements when second-grade students alternate positions and when third-grade students are together. Suitable for high school students studying combinatorics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation