Se considera la función c=4+t(t+2) que representa el caudal que brota de un cañón, donde c se mide en litros/minuto yt en minutos. Calcula el volumen que se consigue recoger en un cojín desde el instante t=0 hasta el t=20 minutos.

Para calcular el volumen de agua recogido por el cojín desde el instante \( t = 0 \) hasta \( t = 20 \) minutos, tenemos que integrar la función \( c(t) = 4 + t(t + 2) \), que representa el caudal de salida en litros por minuto. 

Primero simplificamos la función:

\[
c(t) = 4 + t(t + 2) = 4 + t^2 + 2t
\]

La función que vamos a integrar es entonces:

\[
c(t) = t^2 + 2t + 4
\]

Para encontrar el volumen total, que es la integral del caudal respecto al tiempo \( t \), integramos desde \( t = 0 \) hasta \( t = 20 \):

\[
V = \int_0^{20} (t^2 + 2t + 4) \, dt
\]

Procedamos a resolver la integral:

\[
\int (t^2 + 2t + 4) \, dt = \frac{t^3}{3} + t^2 + 4t
\]

Ahora evaluamos esta expresión en los límites de \( t = 0 \) y \( t = 20 \):

\[
V = \left[ \frac{t^3}{3} + t^2 + 4t \right]_0^{20}
\]

Calculamos en \( t = 20 \):

\[
\frac{20^3}{3} + 20^2 + 4(20) = \frac{8000}{3} + 400 + 80 = \frac{8000}{3} + 480 = 2666.67 + 480 = 3146.67 \, \text{litros}
\]

En \( t = 0 \), el resultado es simplemente 0, porque todos los términos se anulan.

Por lo tanto, el volumen total de agua recogido desde \( t = 0 \) hasta \( t = 20 \) minutos es:

\[
V = 3146.67 \, \text{litros}
\]

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué métodos de integración se usan para funciones más complicadas?
2. ¿Cómo afecta la forma de la función del caudal al volumen total?
3. ¿Qué ocurre si cambiamos los límites de integración a otro intervalo de tiempo?
4. ¿Cómo podríamos resolver este problema utilizando series?
5. ¿Qué sucede si integramos una función que modela un caudal no constante?

### Tip:
Recuerda que la integral de una función de caudal sobre un intervalo de tiempo te da el volumen acumulado de un fluido.

Se considera la función c=4+t(t+2) que representa el caudal que brota de un cañón, donde c se mide en litros/minuto y t en minutos. Calcula el volumen que se consigue recoger en un cojín desde el instante t=0 hasta el t=20 minutos.

Aprende a calcular el volumen de agua recogido en un cojín desde t=0 hasta t=20 minutos usando la función de caudal c(t) = 4 + t(t+2). El problema abarca conceptos avanzados de cálculo como la integración definida de funciones polinomiales. Adecuado para estudiantes de Grados 11-12.

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