

Hallar el perímetro del triángulo con estos vértices.
(-4,5),(6,2) ,(-4, 2) 
Dar una respuesta exacta (no una aproximación decimal).
Simplificar la respuesta tanto como sea posible.

Para hallar el perímetro de un triángulo, necesitamos calcular la longitud de sus tres lados y luego sumar esas longitudes.

El triángulo tiene los vértices: \((-4,5)\), \((6,2)\), y \((-4,2)\).

### 1. Fórmula de la distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos \(A(x_1, y_1)\) y \(B(x_2, y_2)\) en el plano se calcula con la fórmula:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

### 2. Calculemos las longitudes de los lados del triángulo:
Denotemos los vértices como:
- \( A(-4, 5) \)
- \( B(6, 2) \)
- \( C(-4, 2) \)

#### Lado AB (entre \(A(-4, 5)\) y \(B(6, 2)\)):
\[
AB = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(6 + 4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10^2 + 3^2} = \sqrt{100 + 9} = \sqrt{109}
\]

#### Lado BC (entre \(B(6, 2)\) y \(C(-4, 2)\)):
\[
BC = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(6 + 4)^2 + 0^2} = \sqrt{10^2} = 10
\]

#### Lado AC (entre \(A(-4, 5)\) y \(C(-4, 2)\)):
\[
AC = \sqrt{(-4 - (-4))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3
\]

### 3. Perímetro del triángulo
El perímetro \(P\) es la suma de las longitudes de los lados:
\[
P = AB + BC + AC = \sqrt{109} + 10 + 3
\]
Por lo tanto, el perímetro exacto del triángulo es:
\[
P = \sqrt{109} + 13
\]

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el área de un triángulo usando las coordenadas de sus vértices?
2. ¿Qué es un triángulo isósceles, equilátero y escaleno?
3. ¿Cómo se utiliza el teorema de Pitágoras para verificar si un triángulo es rectángulo?
4. ¿Qué propiedades tiene un triángulo en un plano cartesiano?
5. ¿Cómo se determina si tres puntos son colineales en el plano?

### Tip:
Para verificar si un triángulo es rectángulo, puedes comprobar si el cuadrado de la longitud del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Learn how to calculate the perimeter of a triangle with vertices at (-4,5), (6,2), and (-4,2). This problem involves applying the distance formula to compute the lengths of triangle sides and then summing them to find the exact perimeter. Suitable for students in Grades 7-9.

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