Una página impresa contiene una región de impresión de 24pulgadas cuadradas, un margen de 1.5 en la parte superior e inferior y un margen de 1 en los lados.
* a) Encuentre un modelo matemático que exprese el ares total de la página como una función del ancho de la región de impresión.

Para resolver este problema, primero necesitamos definir las dimensiones de la página y la relación entre el área total de la página y el área de la región de impresión.

### Definición de variables:
- \( w \) = ancho de la región de impresión (en pulgadas).
- \( h \) = altura de la región de impresión (en pulgadas).

Dado que el área de la región de impresión es \( 24 \) pulgadas cuadradas, tenemos la relación:
\[
w \times h = 24
\]

La página tiene márgenes de \( 1.5 \) pulgadas en la parte superior e inferior y márgenes de \( 1 \) pulgada a los lados. Por lo tanto:
- El ancho total de la página \( W \) es el ancho de la región de impresión más los márgenes laterales:
\[
W = w + 2 \times 1 = w + 2
\]
- La altura total de la página \( H \) es la altura de la región de impresión más los márgenes superior e inferior:
\[
H = h + 2 \times 1.5 = h + 3
\]

### Expresión para el área total de la página:
El área total de la página \( A \) es el producto del ancho total \( W \) y la altura total \( H \):
\[
A = W \times H = (w + 2) \times (h + 3)
\]

### Relación entre \( h \) y \( w \):
Dado que \( w \times h = 24 \), podemos despejar \( h \) en términos de \( w \):
\[
h = \frac{24}{w}
\]

### Función del área total en términos del ancho \( w \):
Sustituyendo \( h = \frac{24}{w} \) en la ecuación del área total:
\[
A(w) = (w + 2) \times \left(\frac{24}{w} + 3\right)
\]

Ahora, simplificamos la expresión:
\[
A(w) = (w + 2) \times \left(\frac{24 + 3w}{w}\right)
\]
\[
A(w) = \frac{(w + 2) \times (24 + 3w)}{w}
\]
\[
A(w) = \frac{24w + 72 + 3w^2 + 6w}{w}
\]
\[
A(w) = 3w + 30 + \frac{72}{w}
\]

### Respuesta final:
La función que modela el área total de la página como una función del ancho de la región de impresión es:
\[
A(w) = 3w + 30 + \frac{72}{w}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo influye el ancho de la región de impresión en el área total de la página?
2. ¿Cuál es el valor mínimo posible para el área total de la página?
3. ¿Cómo se vería afectada la función si los márgenes fueran diferentes?
4. ¿Cómo encontrar los valores de \( w \) que minimizan o maximizan el área total?
5. ¿Qué sucede con la función \( A(w) \) cuando \( w \) tiende a 0?
6. ¿Cómo se aplica el cálculo diferencial para optimizar esta función?
7. ¿Cómo afecta la relación entre \( h \) y \( w \) al diseño de una página?
8. ¿Cómo se podrían cambiar los márgenes para optimizar el uso del papel?

**Tip:** Cuando trabajas con funciones en problemas de optimización, verificar los límites y comportamientos extremos puede darte información útil sobre el comportamiento de la función.

Learn how to calculate the total area of a printed page based on the width of the printing region, including margins. This problem involves geometry and linear equations, covering the area formula for rectangles and its application in determining total page area. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation