Un objeto que cae verticalmente a través del aire está sujeto a una resistencia viscosa, así como a la fuerza de gravedad. Suponga que un objeto con masa m cae desde una altura s0 y que la altura del objeto después de t segundos es

s(t)= s_0 -(mg/k)*t+(m´2g/k´2)(1-e´(-kt/m)

donde g = 32.17 pies/s^2 y k representa el coeficiente de la resistencia del aire en lb-s/pie. Suponga s0 = 300 pies, m = 0.25 lb y k = 0.1 lb-s/pie. Encuentre, usando el método de punto fijo y dentro de 0.0001 segundos de error, el tiempo que tarda un cuarto de libra en golpear el piso.

Para resolver este problema, utilizaremos el método del punto fijo para encontrar el tiempo \(t\) en el que el objeto golpea el suelo, es decir, cuando \(s(t) = 0\).

### Función \(s(t)\)

Dada la función de la altura \(s(t)\):

\[
s(t) = s_0 - \frac{mg}{k}t + \frac{m^2g}{k^2}\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)
\]

y con los valores:

- \(s_0 = 300\) pies,
- \(m = 0.25\) lb,
- \(g = 32.17\) pies/s²,
- \(k = 0.1\) lb-s/pie,

sustituimos en la ecuación:

\[
s(t) = 300 - \frac{(0.25)(32.17)}{0.1}t + \frac{(0.25)^2(32.17)}{(0.1)^2}\left(1 - e^{-\frac{0.1t}{0.25}}\right)
\]

Simplificamos cada término:

\[
s(t) = 300 - 80.425t + 200\left(1 - e^{-0.4t}\right)
\]

### Encontrar \(t\) usando el método de punto fijo

Para aplicar el método de punto fijo, reescribimos \(s(t) = 0\) como una ecuación de punto fijo de la forma \(t = g(t)\). Buscamos una función \(g(t)\) tal que:

\[
t = g(t)
\]

Una forma de obtener \(g(t)\) es reorganizar la ecuación \(s(t) = 0\). Reescribimos \(s(t)\) como:

\[
300 - 80.425t + 200(1 - e^{-0.4t}) = 0
\]

Despejamos \(t\):

\[
80.425t = 300 + 200(1 - e^{-0.4t})
\]

\[
t = \frac{300 + 200(1 - e^{-0.4t})}{80.425}
\]

Esto nos da la función \(g(t)\):

\[
g(t) = \frac{300 + 200(1 - e^{-0.4t})}{80.425}
\]

### Implementación del método de punto fijo

Ahora iteraremos usando el método de punto fijo, empezando con una suposición inicial para \(t\), por ejemplo, \(t_0 = 0\).

1. Definir la función \(g(t)\).
2. Iterar \(t_{n+1} = g(t_n)\) hasta que la diferencia entre \(t_{n+1}\) y \(t_n\) sea menor que \(0.0001\).

### Implementación Numérica

Vamos a realizar las iteraciones:

\[
g(t) = \frac{300 + 200(1 - e^{-0.4t})}{80.425}
\]

Usaremos el valor inicial \(t_0 = 0\). Ahora calcularemos las iteraciones:

```python
import math

# Definimos los parámetros
s0 = 300
m = 0.25
g = 32.17
k = 0.1

# Definimos la función g(t)
def g(t):
    return (300 + 200 * (1 - math.exp(-0.4 * t))) / 80.425

# Método del punto fijo
t_n = 0  # Valor inicial
t_n1 = g(t_n)
tolerance = 0.0001

while abs(t_n1 - t_n) > tolerance:
    t_n = t_n1
    t_n1 = g(t_n)

t_n1
```

Vamos a calcular esto:El tiempo que tarda el objeto en golpear el suelo, utilizando el método de punto fijo con una precisión de 0.0001 segundos, es aproximadamente **5.9905 segundos**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas que podrías considerar:

1. ¿Cómo cambiarían los resultados si el coeficiente de resistencia del aire \(k\) fuera diferente?
2. ¿Qué otros métodos numéricos se podrían utilizar para resolver este tipo de ecuaciones?
3. ¿Cómo afecta la masa del objeto al tiempo de caída cuando hay resistencia del aire?
4. ¿Qué suposiciones estamos haciendo sobre la resistencia del aire en este modelo?
5. ¿Cómo se comportaría la caída si el objeto estuviera en un vacío, es decir, sin resistencia del aire?

**Tip:** En problemas de física aplicados con resistencia del aire, los métodos numéricos son útiles porque las ecuaciones no suelen tener soluciones analíticas simples.

Learn how to calculate the time it takes for a quarter-pound object to hit the ground with air resistance using the fixed-point method. This problem involves differential equations and numerical methods, with specific values such as initial height, mass, gravity, and air resistance coefficient. Suitable for university-level students and physics enthusiasts.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation