responda Dada uma função f colon fraktur R rightwards arrow fraktur R, a partir da qual se verifica que limit as x rightwards arrow infinity of f left parenthesis x right parenthesis equals L e que a sequência a subscript nsatisfaz a subscript n space equals space f left parenthesis n right parenthesis, portanto,  limit as n rightwards arrow infinity of a subscript n equals L .

Seja a sequência a subscript n =  fraction numerator 2 n to the power of 4 space plus 5 n cubed space plus space 3 n squared plus 1 over denominator 6 n to the power of 4 plus space 7 n squared space plus space n plus 2 end fraction , assinale a alternativa que corresponde ao valor do limite.

	a.	
L equals 1 fourth.

	b.	
L equals 1 third.

	c.	
L equals 1.

	d.	
L equals 1 half.

	e.	
L equals 0.



Vamos calcular o limite da sequência \( a_n = \frac{2n^4 + 5n^3 + 3n^2 + 1}{6n^4 + 7n^2 + n + 2} \) quando \( n \to \infty \).

### Passo 1: Identificar os termos de maior ordem
Para determinar o limite de uma fração envolvendo polinômios à medida que \( n \) tende ao infinito, devemos focar nos termos de maior grau tanto no numerador quanto no denominador, pois eles dominam o comportamento da função para valores grandes de \( n \).

- No numerador: O termo de maior grau é \( 2n^4 \).
- No denominador: O termo de maior grau é \( 6n^4 \).

### Passo 2: Simplificar a expressão

Dividimos todos os termos da fração por \( n^4 \):

\[
a_n = \frac{2n^4 + 5n^3 + 3n^2 + 1}{6n^4 + 7n^2 + n + 2} = \frac{2 + \frac{5}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^4}}{6 + \frac{7}{n^2} + \frac{1}{n^3} + \frac{2}{n^4}}
\]

### Passo 3: Calcular o limite

Agora, calculamos o limite da expressão acima à medida que \( n \to \infty \). Quando \( n \to \infty \), todos os termos que envolvem \( \frac{1}{n} \), \( \frac{1}{n^2} \), etc., tendem a zero. Portanto, o limite se reduz a:

\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

### Conclusão

O valor do limite \( L \) é \( \frac{1}{3} \).

A resposta correta é:

**b. \( L = \frac{1}{3} \)**.

---

**Deseja mais detalhes sobre o procedimento ou tem alguma pergunta?**

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**Dica:** Em problemas envolvendo limites de polinômios, os termos de maior grau sempre dominam o comportamento da expressão à medida que \( n \) ou \( x \) tendem ao infinito.

Learn how to calculate the limit of the sequence a_n = (2n^4 + 5n^3 + 3n^2 + 1) / (6n^4 + 7n^2 + n + 2) as n tends to infinity. Understand the asymptotic behavior of polynomials and the process of simplifying fractions involving polynomial terms.

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