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Este es un problema clásico de trigonometría en el que se busca determinar la altura de una montaña utilizando ángulos de elevación desde dos puntos diferentes.

### Planteamiento:

Tenemos un topógrafo que realiza dos observaciones desde dos puntos separados por 900 metros de distancia. El teodolito está a 2 metros del suelo, y los ángulos de elevación hacia la cima de la montaña desde estos dos puntos son de \(47^\circ\) y \(35^\circ\), respectivamente.

#### Variables:
- \( h \): la altura de la montaña respecto al suelo.
- \( b \): la distancia horizontal entre el punto del teodolito y la proyección de la cima de la montaña en el suelo.
- \( y \): la distancia horizontal entre el segundo punto y el primer punto de observación (900 metros).
- Altura del teodolito: 2 metros (esto se suma al resultado final).

#### Paso 1: Utilizamos la función tangente para los ángulos
Podemos usar la relación trigonométrica de la tangente para ambos ángulos:

1. Para el ángulo de \(47^\circ\) desde el punto más cercano:
   \[
   \tan(47^\circ) = \frac{h}{b}
   \]
   Esto nos da la relación:
   \[
   h = b \cdot \tan(47^\circ)
   \]

2. Para el ángulo de \(35^\circ\) desde el punto más lejano:
   \[
   \tan(35^\circ) = \frac{h}{b + 900}
   \]
   Esto nos da la relación:
   \[
   h = (b + 900) \cdot \tan(35^\circ)
   \]

#### Paso 2: Igualamos las dos ecuaciones
Como ambas expresiones representan la misma altura \( h \), podemos igualarlas:
\[
b \cdot \tan(47^\circ) = (b + 900) \cdot \tan(35^\circ)
\]

#### Paso 3: Resolviendo para \( b \)
Expandiendo la ecuación:
\[
b \cdot \tan(47^\circ) = b \cdot \tan(35^\circ) + 900 \cdot \tan(35^\circ)
\]
Reorganizamos los términos:
\[
b \cdot (\tan(47^\circ) - \tan(35^\circ)) = 900 \cdot \tan(35^\circ)
\]
Finalmente, despejamos \( b \):
\[
b = \frac{900 \cdot \tan(35^\circ)}{\tan(47^\circ) - \tan(35^\circ)}
\]

#### Paso 4: Sustituyendo valores numéricos
Usamos los valores de las tangentes:
- \(\tan(47^\circ) \approx 1.0724\)
- \(\tan(35^\circ) \approx 0.7002\)

Sustituimos en la ecuación de \( b \):
\[
b = \frac{900 \cdot 0.7002}{1.0724 - 0.7002} \approx \frac{630.18}{0.3722} \approx 1693.19 \, \text{m}
\]

#### Paso 5: Cálculo de \( h \)
Ahora que tenemos \( b \), calculamos \( h \) usando la primera ecuación:
\[
h = 1693.19 \cdot \tan(47^\circ) \approx 1693.19 \cdot 1.0724 \approx 1815.73 \, \text{m}
\]

#### Paso 6: Agregamos la altura del teodolito
Como el teodolito está a 2 metros sobre el suelo, la altura total de la montaña es:
\[
h_{\text{total}} = 1815.73 + 2 = 1817.73 \, \text{m}
\]

### Resultado:
La altura de la montaña es aproximadamente **1817.73 metros**.

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes preguntas? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se deriva la fórmula de la tangente en un triángulo rectángulo?
2. ¿Cómo se podría resolver este problema utilizando otra función trigonométrica?
3. ¿Cómo se afecta la solución si se cambia la distancia entre los puntos de observación?
4. ¿Por qué es importante sumar la altura del teodolito al resultado final?
5. ¿Qué sucede si uno de los ángulos de elevación es mayor de \(90^\circ\)?

**Tip**: En problemas de topografía, la precisión en la medición de ángulos es crucial para obtener resultados exactos en el cálculo de distancias o alturas.

Para medir la altura de una montaña, un topógrafo realiza dos observaciones de la cima con una distancia de 900 metros entre ellas, en línea recta con la montaña. El resultado de la primera observación es un ángulo de elevación de 47°, mientras que la segunda da un ángulo de elevación de 35°. Si el teodolito está a 2 metros de altura, ¿Cuál es la altura h de la montaña?

Solve a classic trigonometry problem to find the height of a mountain using angles of elevation and distance. This problem involves applying tangent functions in right triangles and is suitable for undergraduate students.

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