Una corriente el´ectrica de 34.000 A fluye a lo largo de una placa de acero plana de 12.5mm de
espesor y 100 mm de ancho. La temperatura en una superficie de la placa es de 82°C y la de la
otra es de 95°C. Encuentre la distribuci´on de la temperatura a lo largo de la placa, y el valor y
la posici´on de la temperatura m´axima. Calcular tambi´en la cantidad total de calor generado por
metro de longitud de la placa y el flujo de calor de cada superficie de la placa. Considere que: la
densidad del acero es ρ = 12−6Ωcm y K = 52.4W/mK

Para resolver este problema, que involucra la distribución de temperatura en una placa de acero a través de la cual fluye una corriente eléctrica, utilizaremos los conceptos de conducción de calor, generación de calor por efecto Joule, y la ecuación de Fourier para la conducción de calor en estado estacionario.

### Variables conocidas:
- Corriente: \( I = 34,000 \, \text{A} \)
- Espesor de la placa: \( t = 12.5 \, \text{mm} = 0.0125 \, \text{m} \)
- Ancho de la placa: \( w = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m} \)
- Temperatura en la superficie 1: \( T_1 = 82 \, ^\circ C \)
- Temperatura en la superficie 2: \( T_2 = 95 \, ^\circ C \)
- Resistividad del acero: \( \rho = 12 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot \text{cm} = 1.2 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot \text{m} \)
- Conductividad térmica: \( K = 52.4 \, \text{W/m} \cdot \text{K} \)

### 1. **Generación de calor por efecto Joule:**

La generación de calor debido a la corriente que fluye por la placa sigue la ley de Joule:

\[
q' = \frac{I^2 \rho}{A}
\]

Donde:
- \( q' \) es la cantidad de calor generada por unidad de volumen (\( \text{W/m}^3 \)),
- \( I \) es la corriente,
- \( \rho \) es la resistividad del material,
- \( A \) es el área de la sección transversal de la placa.

El área de la sección transversal de la placa es:

\[
A = w \cdot t = 0.1 \, \text{m} \times 0.0125 \, \text{m} = 1.25 \times 10^{-3} \, \text{m}^2
\]

Sustituyendo en la ecuación de \( q' \):

\[
q' = \frac{(34,000 \, \text{A})^2 \cdot 1.2 \times 10^{-7} \, \Omega \cdot \text{m}}{1.25 \times 10^{-3} \, \text{m}^2}
\]

### 2. **Distribución de la temperatura a lo largo de la placa:**

La distribución de la temperatura en una placa con generación interna de calor está dada por la ecuación de conducción de calor con generación térmica en estado estacionario:

\[
K \frac{d^2 T}{dx^2} + q' = 0
\]

La solución general de esta ecuación es una parábola:

\[
T(x) = \frac{q'}{2K} x^2 + C_1 x + C_2
\]

Donde \( C_1 \) y \( C_2 \) son constantes que se determinan utilizando las condiciones de frontera. Sabemos que la temperatura en \( x = 0 \) (una superficie de la placa) es \( T_1 = 82 \, ^\circ C \) y en \( x = t = 0.0125 \, \text{m} \) (la otra superficie) es \( T_2 = 95 \, ^\circ C \).

### 3. **Cantidad total de calor generado por metro de longitud de la placa:**

El calor total generado por unidad de longitud de la placa se puede calcular como:

\[
Q = q' \cdot A \cdot L
\]

Donde \( L \) es la longitud de la placa (se asume 1 metro en este caso). 

### 4. **Flujo de calor en cada superficie de la placa:**

El flujo de calor en cada superficie se puede calcular usando la ley de Fourier:

\[
q'' = -K \frac{dT}{dx}
\]

Este flujo será diferente en cada superficie debido a la generación interna de calor.

Voy a proceder a calcular los valores.

Una corriente eléctrica de 34,000 A fluye a lo largo de una placa de acero plana de 12.5 mm de espesor y 100 mm de ancho. La temperatura en una superficie de la placa es de 82°C y la de la otra es de 95°C. Encuentre la distribución de la temperatura a lo largo de la placa, y el valor y la posición de la temperatura máxima. Calcular también la cantidad total de calor generado por metro de longitud de la placa y el flujo de calor de cada superficie de la placa. Considere que: la densidad del acero es ρ = 12−6Ωcm y K = 52.4W/mK.

Solve the problem of temperature distribution in a steel plate through which a 34,000 A current flows. Learn how to apply Fourier's law and Joule's law to calculate the heat generated, the temperature profile, and the heat flux in the system. This detailed analysis is suitable for undergraduate engineering students.

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