f(x)=x-2/x+3 g(x)=x/x+3 hallar (f/g)(x) luego indicar el dominio mediante un intervalo de f/g

Dado que \( f(x) = \frac{x-2}{x+3} \) y \( g(x) = \frac{x}{x+3} \), necesitamos hallar \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) y luego determinar el dominio de esta función.

### Paso 1: Hallar \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\)

\[
\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\frac{x-2}{x+3}}{\frac{x}{x+3}}
\]

Simplificamos la fracción dividiendo \( f(x) \) entre \( g(x) \):

\[
\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x-2}{x+3} \times \frac{x+3}{x} = \frac{(x-2)(x+3)}{x(x+3)}
\]

Al simplificar se cancelan \( x+3 \):

\[
\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x-2}{x}
\]

### Paso 2: Determinar el dominio de \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\)

El dominio de \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) es el conjunto de valores de \(x\) para los cuales la función está definida. Para esto, debemos considerar los valores que hacen el denominador igual a cero y los que se eliminan en la simplificación.

\[
\frac{x-2}{x}
\]

La función está indefinida cuando \( x = 0 \). Además, al simplificar \( \frac{x-2}{x} \), no se añaden restricciones adicionales.

### Dominio de \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\):

El dominio de la función es \( x \in \mathbb{R} \) excepto \( x = 0 \). Esto se expresa en intervalos como:

\[
\text{Dominio}: (-\infty, 0) \cup (0, \infty)
\]

---

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre los pasos?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se determina el dominio de una función con mayor complejidad?
2. ¿Qué ocurre si \(f(x)\) o \(g(x)\) tienen raíces cuadradas?
3. ¿Cómo afectaría un término adicional en \(f(x)\) o \(g(x)\) al dominio?
4. ¿Qué propiedades de funciones pueden simplificar el análisis de dominios?
5. ¿Cómo se grafica la función \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\)?

**Tip:** Siempre revisa los valores que hacen cero al denominador cuando determines el dominio de una función racional.

Learn how to calculate the function (f/g)(x) for given rational functions f(x) and g(x). Understand the steps to simplify the expression and determine the domain of the resulting function. Suitable for high school students.

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