Un paralelogramo tiene lados con longitudes 12 cm y 8 cm y dichos lados determinan un ángulo de 120°. Calcular el área del paralelogramo y la medida de su diagonal mayor.


Para resolver este problema, calcularemos el área del paralelogramo y la longitud de su diagonal mayor utilizando las propiedades geométricas y trigonométricas.

### 1. Cálculo del área del paralelogramo

El área \(A\) de un paralelogramo se puede calcular usando la siguiente fórmula:
\[
A = ab \sin(\theta)
\]
donde:
- \(a\) y \(b\) son las longitudes de los lados del paralelogramo.
- \(\theta\) es el ángulo entre estos lados.

En este caso:
- \(a = 12 \, \text{cm}\)
- \(b = 8 \, \text{cm}\)
- \(\theta = 120^\circ\)

Entonces, el área es:
\[
A = 12 \times 8 \times \sin(120^\circ)
\]
Sabemos que:
\[
\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Por lo tanto:
\[
A = 12 \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 48\sqrt{3} \, \text{cm}^2
\]

### 2. Cálculo de la diagonal mayor

Para calcular la longitud de la diagonal mayor \(D\) de un paralelogramo, se puede usar la fórmula:
\[
D = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\theta)}
\]
donde \(a\), \(b\) y \(\theta\) son los mismos que antes.

En este caso:
\[
D = \sqrt{12^2 + 8^2 + 2 \times 12 \times 8 \times \cos(120^\circ)}
\]
Sabemos que:
\[
\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}
\]

Por lo tanto:
\[
D = \sqrt{144 + 64 + 2 \times 12 \times 8 \times \left(-\frac{1}{2}\right)}
\]
\[
D = \sqrt{144 + 64 - 96} = \sqrt{112} = \sqrt{16 \times 7} = 4\sqrt{7} \, \text{cm}
\]

### Resumen

- **Área del paralelogramo**: \(48\sqrt{3} \, \text{cm}^2\)
- **Longitud de la diagonal mayor**: \(4\sqrt{7} \, \text{cm}\)

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre los pasos?

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo se calcularía el área si el ángulo fuera diferente de \(120^\circ\)?
2. ¿Qué otra fórmula se podría utilizar para encontrar el área de un paralelogramo?
3. ¿Cómo se determina la diagonal menor del paralelogramo?
4. ¿Qué pasaría con el área si el ángulo fuera agudo en lugar de obtuso?
5. ¿Cómo se calcula el perímetro del paralelogramo dado en el problema?

### Consejo
Recuerda que conocer las identidades trigonométricas básicas, como el valor de \(\sin(120^\circ)\) y \(\cos(120^\circ)\), puede ser muy útil para resolver problemas de geometría que involucran ángulos.

Learn how to calculate the area and diagonal length of a parallelogram with sides of lengths 12 cm and 8 cm, and an included angle of 120 degrees. This problem involves using geometric and trigonometric principles, including the area formula and diagonal length formula for parallelograms. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation