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Halla las áreas bajo las curvas por método de rectángulos, y por medio de integrales las siguientes funciones.

Para resolver el ejercicio, tenemos que hallar las áreas bajo las curvas para tres funciones utilizando dos métodos: el método de los rectángulos y el método de las integrales. A continuación, detallamos cada función para proceder a su resolución:

### 1. Función: \( x + y = 10 \), con las rectas \( x = 2 \) y \( x = 8 \)
   - Resolviendo \( y = 10 - x \), obtenemos la ecuación de la curva \( y = 10 - x \).
   - Las rectas límites son \( x = 2 \) y \( x = 8 \).

### 2. Función: \( 9 - x^2 = 0 \) (que se puede expresar como \( y = 9 - x^2 \))
   - Esta es una parábola invertida.
   - El área debe estar limitada por los puntos donde la curva corta el eje \( x \), es decir, donde \( y = 0 \), lo que sucede en \( x = -3 \) y \( x = 3 \).

### 3. Función: \( xy = 36 \), con las rectas \( x = 6 \) y \( x = 12 \)
   - Resolviendo \( y = \frac{36}{x} \), obtenemos la curva \( y = \frac{36}{x} \).
   - Las rectas límites son \( x = 6 \) y \( x = 12 \).

#### Método de los rectángulos:
El método de los rectángulos consiste en dividir el área bajo la curva en varios rectángulos, calcular el área de cada uno y sumarlas. Cuantos más rectángulos se usen, mayor precisión tendrá el resultado.

#### Método de las integrales:
Para obtener el área bajo cada curva, calcularemos la integral definida de las funciones dentro de los límites dados.

Voy a proceder a calcular las áreas bajo las curvas utilizando integrales. Luego, si deseas, podemos abordar el método de los rectángulos también. 

### 1. Área bajo \( y = 10 - x \) entre \( x = 2 \) y \( x = 8 \):
\[
A_1 = \int_2^8 (10 - x) \, dx
\]

### 2. Área bajo \( y = 9 - x^2 \) entre \( x = -3 \) y \( x = 3 \):
\[
A_2 = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) \, dx
\]

### 3. Área bajo \( y = \frac{36}{x} \) entre \( x = 6 \) y \( x = 12 \):
\[
A_3 = \int_6^{12} \frac{36}{x} \, dx
\]

Voy a realizar los cálculos de estas integrales.Aquí están los resultados de las áreas bajo las curvas utilizando el método de las integrales:

1. **Para la función \( y = 10 - x \) entre \( x = 2 \) y \( x = 8 \):**
   \[
   A_1 = 30 \, \text{unidades cuadradas}.
   \]

2. **Para la función \( y = 9 - x^2 \) entre \( x = -3 \) y \( x = 3 \):**
   \[
   A_2 = 36 \, \text{unidades cuadradas}.
   \]

3. **Para la función \( y = \frac{36}{x} \) entre \( x = 6 \) y \( x = 12 \):**
   \[
   A_3 = 36 (\ln(12) - \ln(6)) = 36 \ln\left(\frac{12}{6}\right) = 36 \ln(2) \approx 24.94 \, \text{unidades cuadradas}.
   \]

Si quieres proceder con el método de los rectángulos o aclarar algún paso, avísame.

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se puede aumentar la precisión en el método de los rectángulos?
2. ¿Qué ventajas ofrece el método de integración frente al de rectángulos?
3. ¿Cómo interpretar geométricamente el área negativa en algunos casos?
4. ¿Qué ocurre si cambiamos los límites de integración en una de las funciones?
5. ¿Cómo afectaría usar una partición no uniforme en el método de los rectángulos?

### Tip: En problemas de áreas, si la curva está por debajo del eje \(x\), el resultado de la integral puede ser negativo, pero el área real siempre es positiva.

Halla las áreas bajo las curvas por el método de rectángulos y por medio de integrales de las siguientes funciones.

Calcula las áreas bajo curvas con las funciones dadas utilizando integrales definidas y el método de los rectángulos. Incluye el uso de x + y = 10, 9 - x^2, y xy = 36.

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