Utilice 3 nodos internos y D.C para aproximar el problema de bordes: 
y'' +2xy'+ (e^(-x))y = 2+4x + (x^2)(e^-x) ; con y(0)=0, y(1)=2

determine el error global y por componentes con norma infinito si la solucion exacta es y=x^2

Explicar paso a paso y luego definir codigo en malab 

Para aproximar el problema de valores de frontera usando el método de diferencias finitas y determinar el error global y por componentes en norma infinito, seguiremos los siguientes pasos:

### Paso 1: Planteamiento del problema
El problema de valor de frontera dado es:
\[
y'' + 2xy' + e^{-x}y = 2 + 4x + x^2e^{-x}
\]
con las condiciones de frontera:
\[
y(0) = 0, \quad y(1) = 2
\]
y la solución exacta \( y(x) = x^2 \).

### Paso 2: Discretización del dominio
Para utilizar 3 nodos internos, dividimos el intervalo \([0, 1]\) en 4 subintervalos con 3 nodos internos \( x_1, x_2, x_3 \). El conjunto de puntos será \( x_0 = 0 \), \( x_1 \), \( x_2 \), \( x_3 = 1 \), donde \( h \) es el tamaño del paso. Como hay 4 nodos en total (incluyendo los extremos), tenemos:
\[
h = \frac{1 - 0}{3} = \frac{1}{3}
\]
Entonces los nodos son:
\[
x_0 = 0, \quad x_1 = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{2}{3}, \quad x_3 = 1
\]

### Paso 3: Aproximación usando Diferencias Finitas
Para aproximar la ecuación diferencial, utilizamos la fórmula de diferencias finitas centrales:
\[
y''(x_i) \approx \frac{y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1}}{h^2}
\]
\[
y'(x_i) \approx \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{2h}
\]
Sustituyendo estas aproximaciones en la ecuación diferencial:
\[
\frac{y_{i+1} - 2y_i + y_{i-1}}{h^2} + 2x_i \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{2h} + e^{-x_i} y_i = 2 + 4x_i + x_i^2 e^{-x_i}
\]
Simplificamos y organizamos:
\[
\frac{y_{i+1}}{h^2} + \frac{2x_i}{2h} y_{i+1} - \left(\frac{2}{h^2} - e^{-x_i}\right) y_i + \left(\frac{y_{i-1}}{h^2} - \frac{2x_i}{2h} y_{i-1}\right) = 2 + 4x_i + x_i^2 e^{-x_i}
\]

### Paso 4: Definición del sistema de ecuaciones lineales
El sistema de ecuaciones lineales generado es de la forma \( Ay = b \), donde \( A \) es una matriz tridiagonal que incluye las condiciones en \( x_1 \), \( x_2 \), y \( x_3 \). Las condiciones de frontera se incluyen en el sistema para asegurar que \( y_0 = 0 \) y \( y_3 = 2 \).

El sistema se puede resolver usando métodos numéricos.

### Paso 5: Error Global y por Componentes
Para calcular el error global y por componentes en norma infinito, usamos la solución numérica obtenida \( y_{num} \) y la solución exacta \( y_{exacta} = x^2 \). El error en norma infinito se define como:
\[
\|e\|_\infty = \max_{i} |y_{exacta}(x_i) - y_{num}(x_i)|
\]

### Código en MATLAB
Aquí está un código en MATLAB que sigue el proceso descrito:

```matlab
% Definición de parámetros
h = 1/3;
x = 0:h:1; % Nodos: [0, 1/3, 2/3, 1]
n = length(x);

% Condiciones de frontera
y0 = 0;
y3 = 2;

% Inicialización del vector b y matriz A
A = zeros(n, n);
b = zeros(n, 1);

% Condiciones de frontera incorporadas
A(1,1) = 1; % y(0) = 0
b(1) = y0;
A(n,n) = 1; % y(1) = 2
b(n) = y3;

% Construcción de la matriz A y el vector b
for i = 2:n-1
    xi = x(i);
    A(i,i-1) = 1/h^2 - xi/(2*h);
    A(i,i) = -2/h^2 + exp(-xi);
    A(i,i+1) = 1/h^2 + xi/(2*h);
    b(i) = 2 + 4*xi + xi^2*exp(-xi);
end

% Resolución del sistema lineal
y = A\b;

% Solución exacta
y_exacta = x.^2;

% Cálculo del error en norma infinito
error_inf = max(abs(y - y_exacta'));

% Mostrar resultados
disp('Solución numérica:');
disp(y');
disp('Solución exacta:');
disp(y_exacta');
disp('Error en norma infinito:');
disp(error_inf);
```

### Paso 6: Explicación final
1. **Matriz \( A \)**: Se construye para incorporar las condiciones de frontera y las ecuaciones diferenciales aproximadas en los nodos internos.
2. **Solución \( y \)**: Se obtiene resolviendo el sistema lineal \( Ay = b \).
3. **Error**: El error máximo en norma infinito se calcula comparando la solución numérica con la solución exacta.

### Preguntas Relativas
1. ¿Cómo afecta el número de nodos internos a la precisión de la solución?
2. ¿Qué sucede si se utilizan diferencias hacia adelante o hacia atrás en lugar de diferencias centrales?
3. ¿Cómo se puede extender este método a sistemas de ecuaciones diferenciales?
4. ¿Cuáles son los métodos alternativos a diferencias finitas para resolver problemas de frontera?
5. ¿Cómo se podría calcular el error en otras normas, como la norma \( L_2 \)?

### Tip
Cuando implementes métodos numéricos, siempre valida tus resultados con soluciones conocidas para verificar la precisión del método utilizado.

Learn how to approximate a boundary value problem using the finite difference method. This problem involves solving a second-order differential equation with given boundary conditions and computing the global and component-wise error norms using MATLAB. Suitable for undergraduate students studying numerical methods in differential equations.

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