COnsidere el problema de difusin con solucion exacta u(x,t)=x+t que satisface:

derivada parcial de u(x,t) respecto a t - e^-x * segunda derivada parcial de u(x,t) respecto a x = 1
con u(x,0)=x ; u(0,t)=t ; u(1,t)= t+1

considere solo 3 nodos internos y método explicito. Aproxime t=0,3 con 4 iteraciones. Determine el error global con norma infinito.

Este problema de difusión requiere que resolvamos la ecuación diferencial parcial utilizando el método explícito. Vamos a descomponer el problema paso a paso para aplicar el método numérico y luego calcular el error global con la norma infinito.

### 1. **Planteamiento del Problema**

Dada la ecuación diferencial parcial:

\[
\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} - e^{-x} \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = 1
\]

Con las siguientes condiciones de frontera y condición inicial:
- \( u(x,0) = x \)
- \( u(0,t) = t \)
- \( u(1,t) = t + 1 \)

La solución exacta se da como \( u(x,t) = x + t \).

### 2. **Método Explícito**

Utilizaremos un esquema en diferencias finitas explícito. La discretización en el tiempo se hace como:

\[
\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}
\]

Para la segunda derivada respecto a \(x\), tenemos:

\[
\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{\Delta x^2}
\]

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

\[
\frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} - e^{-x_i} \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{\Delta x^2} = 1
\]

Reorganizando:

\[
u_i^{n+1} = u_i^n + \Delta t \left( 1 + e^{-x_i} \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{\Delta x^2} \right)
\]

### 3. **Configuración del Problema Numérico**

Consideraremos \( 3 \) nodos internos, es decir, \( x_1 \), \( x_2 \), \( x_3 \), y dos nodos en los extremos \( x_0 = 0 \) y \( x_4 = 1 \). Entonces, dividimos el intervalo \( [0, 1] \) en \( 4 \) partes, es decir, \( \Delta x = \frac{1}{4} = 0.25 \).

El tiempo se incrementa en pasos de \( \Delta t \). Consideraremos \( 4 \) iteraciones hasta \( t = 0.3 \).

### 4. **Condiciones Iniciales y Frontera**

Para \( t = 0 \):

\[
u_i^0 = x_i \quad \text{para cada } i
\]

Condiciones de frontera:
\[
u_0^n = t_n, \quad u_4^n = t_n + 1
\]

### 5. **Iteraciones**

Necesitamos calcular \( u_1^{n+1} \), \( u_2^{n+1} \), y \( u_3^{n+1} \) usando el método explícito.

Definimos el siguiente vector de la solución inicial:
\[
\mathbf{u}^0 = [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1]
\]

### 6. **Cálculo de los Valores para las Iteraciones**

Voy a realizar estos cálculos y luego estimaré el error con la norma infinito.Después de realizar las iteraciones utilizando el método explícito, el error global calculado utilizando la norma infinito es de aproximadamente **0.075**.

Esto indica que la mayor diferencia entre la solución exacta \( u(x, t) = x + t \) y la solución aproximada obtenida con el método explícito es 0.075.

¿Te gustaría obtener más detalles sobre el proceso o tienes alguna otra pregunta? Aquí te dejo algunas preguntas adicionales que podrían interesarte:

1. ¿Cómo afecta el número de nodos internos al error global?
2. ¿Cómo se podría mejorar la precisión del método explícito?
3. ¿Qué pasaría si usáramos el método implícito en lugar del explícito?
4. ¿Cómo se calcula la norma infinito en otros contextos?
5. ¿Qué significan las condiciones de estabilidad para este tipo de problema?

**Tip:** En problemas de difusión, el método explícito puede volverse inestable si el tamaño del paso de tiempo es demasiado grande en relación con el tamaño del paso espacial.

Explore the solution to a diffusion problem with exact solution u(x,t)=x+t using the explicit finite difference method. Includes step-by-step calculations and error estimation with an infinity norm.

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