dados los puntos P(-2,-3), Q(3,1), R(1,3) hallar el angulo que forman las rectas que pasan por PQ y PR

Para encontrar el ángulo entre dos rectas que pasan por los puntos \(P(-2, -3)\), \(Q(3, 1)\) y \(R(1, 3)\), necesitamos calcular primero las pendientes de las rectas \(PQ\) y \(PR\), y luego usar la fórmula para el ángulo entre dos rectas.

### Paso 1: Calcular las pendientes de las rectas

La pendiente \(m\) de una recta que pasa por dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) se calcula como:

\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]

#### Pendiente de la recta \(PQ\):

Los puntos \(P\) y \(Q\) son \(P(-2, -3)\) y \(Q(3, 1)\).

\[
m_{PQ} = \frac{1 - (-3)}{3 - (-2)} = \frac{1 + 3}{3 + 2} = \frac{4}{5}
\]

#### Pendiente de la recta \(PR\):

Los puntos \(P\) y \(R\) son \(P(-2, -3)\) y \(R(1, 3)\).

\[
m_{PR} = \frac{3 - (-3)}{1 - (-2)} = \frac{3 + 3}{1 + 2} = \frac{6}{3} = 2
\]

### Paso 2: Calcular el ángulo entre las rectas

La fórmula para calcular el ángulo \(\theta\) entre dos rectas con pendientes \(m_1\) y \(m_2\) es:

\[
\tan(\theta) = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|
\]

Sustituyendo \(m_1 = m_{PQ} = \frac{4}{5}\) y \(m_2 = m_{PR} = 2\):

\[
\tan(\theta) = \left| \frac{2 - \frac{4}{5}}{1 + \left(\frac{4}{5} \cdot 2\right)} \right|
\]

Primero, simplificamos la expresión:

\[
\tan(\theta) = \left| \frac{2 - \frac{4}{5}}{1 + \frac{8}{5}} \right| = \left| \frac{\frac{10}{5} - \frac{4}{5}}{1 + \frac{8}{5}} \right| = \left| \frac{\frac{6}{5}}{\frac{13}{5}} \right|
\]

\[
\tan(\theta) = \left| \frac{6}{5} \times \frac{5}{13} \right| = \left| \frac{6}{13} \right|
\]

\[
\tan(\theta) = \frac{6}{13}
\]

### Paso 3: Calcular el ángulo usando la función arco tangente

Para encontrar el ángulo \(\theta\), tomamos la tangente inversa:

\[
\theta = \arctan\left(\frac{6}{13}\right)
\]

Calculando el valor en grados:

\[
\theta \approx \arctan\left(\frac{6}{13}\right) \approx 25.02^\circ
\]

### Respuesta

El ángulo que forman las rectas que pasan por los puntos \(PQ\) y \(PR\) es aproximadamente \(25.02^\circ\).

---

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta?

1. ¿Cómo se calcula la pendiente de una recta que pasa por dos puntos?
2. ¿Cuál es la fórmula general para encontrar el ángulo entre dos rectas?
3. ¿Cómo se convierte un ángulo en radianes a grados y viceversa?
4. ¿Qué propiedades de las funciones trigonométricas son útiles para resolver problemas de geometría analítica?
5. ¿Cómo se usa la función arco tangente para encontrar ángulos en diferentes cuadrantes?

**Tip:** Cuando trabajes con ángulos entre rectas, asegúrate de tener siempre las pendientes correctas y considera los signos para determinar el cuadrante del ángulo.

Learn how to calculate the angle between two lines passing through points P(-2, -3), Q(3, 1), and R(1, 3). This problem involves determining slopes, applying trigonometric formulas for angles between lines, and using the arctangent function. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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