12. Para la función 𝑓(𝑥) = 5 − 2 cos (3𝑥 +𝜋4) solo una de las siguientes afirmaciones es falsa, indique 
cuál. Justifique su selección.
a. El período de 𝑓 es 𝜏 =
2𝜋
3
b. La gráfica de 𝑓 tiene un desfase horizontal hacia la izquierda de 𝜋
4
c. La grafica de 𝑓 presenta un reflejo respecto al eje 𝑥´ = 5
d. El rango de 𝑓 es [3,7]

Para analizar cuál de las afirmaciones es falsa, vamos a examinar cada una en detalle:

### Función dada:
\[
f(x) = 5 - 2\cos\left(3x + \frac{\pi}{4}\right)
\]

#### a. El período de \( f(x) \) es \( \tau = \frac{2\pi}{3} \)

El período de una función coseno de la forma \( \cos(bx) \) es \( \frac{2\pi}{b} \). En este caso, \( b = 3 \), por lo que el período es:
\[
\tau = \frac{2\pi}{3}
\]
Esta afirmación es **verdadera**.

#### b. La gráfica de \( f(x) \) tiene un desfase horizontal hacia la izquierda de \( \frac{\pi}{4} \)

La función \( f(x) = 5 - 2\cos\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) \) puede reescribirse como:
\[
f(x) = 5 - 2\cos\left(3\left(x + \frac{\pi}{12}\right)\right)
\]
Esto indica que hay un desfase hacia la izquierda de \( \frac{\pi}{12} \), no de \( \frac{\pi}{4} \).

Por lo tanto, esta afirmación es **falsa**.

#### c. La gráfica de \( f(x) \) presenta un reflejo respecto al eje \( x' = 5 \)

La función original \( f(x) = 5 - 2\cos\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) \) puede interpretarse como una transformación de la función \( \cos(x) \), donde el \( -2 \) indica un reflejo en el eje horizontal y un escalamiento, mientras que el \( +5 \) indica una traslación vertical hacia arriba en

Explore the analysis of the function f(x) = 5 - 2 cos(3x + pi/4). Identify which statement among given options is false, supported by detailed mathematical reasoning. This problem covers concepts in trigonometry, periodic functions, and function transformations.

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