geben sie jeweils eine nullfolge (xn)n in N und eine unbeschränkte folge (yn)n in N  an, wobie xn ungleich 0 für alle n in N gelten soll, sodass die geforderte Eigenschaft erfüllt ist oder zeigen sie , dass das unmöglich ist : a) (xn yn)n in N eine nullfolge ist , b)  (xn yn)n in N eine unbeschränkte folge ist

Um die geforderten Bedingungen zu erfüllen, untersuchen wir die beiden Fälle, in denen die Folge \((x_n y_n)_{n \in \mathbb{N}}\) entweder eine Nullfolge oder eine unbeschränkte Folge ist.

### a) \((x_n y_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ist eine Nullfolge

Wir suchen eine Nullfolge \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) und eine unbeschränkte Folge \((y_n)_{n \in \mathbb{N}}\), sodass das Produkt \((x_n y_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ebenfalls eine Nullfolge ist.

**Beispiel:**
- Wählen wir \(x_n = \frac{1}{n}\) (dies ist eine Nullfolge, da \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)).
- Wählen wir \(y_n = n\) (dies ist eine unbeschränkte Folge, da \(\lim_{n \to \infty} n = \infty\)).

Dann ist:
\[
x_n y_n = \frac{1}{n} \cdot n = 1
\]

Hier sehen wir jedoch, dass \((x_n y_n)_{n \in \mathbb{N}}\) keine Nullfolge ist, sondern eine konstante Folge mit dem Wert 1. Um eine Nullfolge zu erhalten, müssen wir \(y_n\) anders wählen.

**Korrektur:**
- Wählen wir \(x_n = \frac{1}{n^2}\) (Nullfolge).
- Wählen wir \(y_n = n\) (unbeschränkte Folge).

Dann ist:
\[
x_n y_n = \frac{1}{n^2} \cdot n = \frac{1}{n}
\]

Diese Folge \((x_n y_n)_{n \in \mathbb{N}} = \left(\frac{1}{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) ist eine Nullfolge, da \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\).

### b) \((x_n y_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ist eine unbeschränkte Folge

Jetzt suchen wir eine Nullfolge \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) und eine unbeschränkte Folge \((y_n)_{n \in \mathbb{N}}\), sodass das Produkt \((x_n y_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ebenfalls unbeschränkt ist.

**Beispiel:**
- Wählen wir \(x_n = \frac{1}{n}\) (Nullfolge).
- Wählen wir \(y_n = n^2\) (unbeschränkte Folge).

Dann ist:
\[
x_n y_n = \frac{1}{n} \cdot n^2 = n
\]

Diese Folge \((x_n y_n)_{n \in \mathbb{N}} = (n)_{n \in \mathbb{N}}\) ist offensichtlich unbeschränkt, da \(\lim_{n \to \infty} n = \infty\).

### Zusammenfassung:
- Für Fall (a) kann \(\left(x_n = \frac{1}{n^2}, y_n = n\right)\) gewählt werden, sodass \((x_n y_n)_{n \in \mathbb{N}}\) eine Nullfolge ist.
- Für Fall (b) kann \(\left(x_n = \frac{1}{n}, y_n = n^2\right)\) gewählt werden, sodass \((x_n y_n)_{n \in \mathbb{N}}\) eine unbeschränkte Folge ist.

Möchten Sie weitere Details zu diesen Beispielen oder haben Sie noch Fragen?

**Fragen zur Vertiefung:**
1. Was sind die allgemeinen Kriterien dafür, dass ein Produkt zweier Folgen eine Nullfolge ist?
2. Wie verhalten sich die Produkte zweier konvergenter Folgen?
3. Wie könnte man den Fall ändern, wenn \(x_n\) eine unbeschränkte Folge wäre?
4. Welche Rolle spielt die Wahl der Folge \(y_n\) in den Beispielen?
5. Gibt es eine andere Wahl von \((x_n)\) und \((y_n)\), die dieselben Eigenschaften erfüllen?
6. Kann man eine allgemeine Bedingung für \(x_n\) und \(y_n\) formulieren, damit das Produkt eine Nullfolge ist?
7. Was passiert, wenn \(x_n\) eine konstante Folge ist, die nicht null ist?
8. Wie ändert sich das Ergebnis, wenn \(x_n\) gegen einen anderen Wert als null konvergiert?

**Tipp:** Um solche Folgen zu konstruieren, ist es nützlich, die Grenzwerte der Einzelprodukte von \(x_n\) und \(y_n\) zu analysieren, besonders im Hinblick auf \(n\) und die jeweiligen Divergenzeigenschaften.

Explore the properties of sequences (xn yn)n in N where xn is non-zero for all n in N, and determine if the sequence (xn yn)n in N can be a null sequence or an unbounded sequence. Detailed examples and solutions provided.

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