要证明 \(\tan(1)\) 是无理数，我们需要采用**反证法**。

### 假设：
假设 \(\tan(1)\) 是一个有理数。  
则可以表示为：\(\tan(1) = \frac{p}{q}\)，其中 \(p\) 和 \(q\) 是互质的整数，且 \(q \neq 0\)。

### 1. 基本关系式：
根据三角函数的定义，\(\tan(1)\) 满足以下关系：
\[
\tan(1) = \frac{\sin(1)}{\cos(1)}
\]
所以有：
\[
\frac{p}{q} = \frac{\sin(1)}{\cos(1)}
\]
可以重写为：
\[
p \cdot \cos(1) = q \cdot \sin(1)
\]

### 2. 利用有理数和无理数的性质：
考虑 \(p \cdot \cos(1)\) 和 \(q \cdot \sin(1)\) 的表达式。

- 如果 \(\cos(1)\) 和 \(\sin(1)\) 是无理数，则 \(p \cdot \cos(1)\) 和 \(q \cdot \sin(1)\) 也是无理数。（因为无理数乘以非零的有理数仍然是无理数）
- 但如果两者相等，表示两个无理数相等，这是一个矛盾，因为假设的前提是两者都是有理数。

### 3. 反证法的矛盾：
如果 \(\tan(1)\) 是有理数，意味着 \(p \cdot \cos(1)\) 和 \(q \cdot \sin(1)\) 都是有理数，但这与三角函数值的无理数性质矛盾。

### 结论：
因此，假设 \(\tan(1)\) 是有理数的前提是错误的。  
所以，\(\tan(1)\) 必定是无理数。

---

有什么地方需要更详细的解释吗？或者有其他问题吗？你还可以思考以下问题：

1. 为什么无理数乘以有理数仍然是无理数？
2. 如何证明 \(\sin(1)\) 和 \(\cos(1)\) 是无理数？
3. 为什么反证法是一种有效的证明方法？
4. 有哪些其他三角函数值可以证明是无理数？
5. 在实际应用中，如何利用这些性质进行计算？

**提示：**  
当证明一个数是无理数时，反证法通常是一个有力的工具，尤其是当直接证明较为困难时。

探索如何使用反证法证明 tan(1) 是无理数。详细讨论了三角函数 tan 的定义和性质，以及无理数的特性。适合高中高年级学生。

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