Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje 𝑦 la región limitada por la gráfica de 𝑦=3𝑥−𝑥3, el eje 𝑥 y la recta 𝑥=1. mediante el metodo de arandela y toma en cuenta que gira al rededor del eje y y que los limetes de la integral son 0 a 2 resuelvelo paso a paso 

Vamos a calcular el volumen del sólido generado al girar la región limitada por la curva \( y = 3x - x^3 \), el eje \( x \), y la recta \( x = 1 \) alrededor del eje \( y \), utilizando el **método de la arandela** (o disco con hueco). El método consiste en considerar que el volumen se forma mediante un conjunto de arandelas infinitesimalmente delgadas.

### Paso 1: Reescribir la ecuación de la curva en términos de \( x \)

El sólido está girando alrededor del eje \( y \), por lo que necesitamos expresar \( x \) en función de \( y \) a partir de la ecuación \( y = 3x - x^3 \). Esto implica resolver la ecuación para \( x \).

Primero, factoricemos la ecuación para facilitar la solución:
\[
y = x(3 - x^2)
\]
Esto no tiene una solución sencilla para \( x \), así que vamos a proceder calculando el volumen directamente en términos de la función \( y(x) \), pero adaptando los límites de integración de acuerdo a la condición dada. Notemos que los límites de integración están entre \( x = 0 \) y \( x = 1 \), según el problema. 

### Paso 2: Fórmula del volumen mediante el método de la arandela

El volumen \( V \) usando el método de la arandela está dado por la fórmula:
\[
V = \pi \int_{y_{\text{min}}}^{y_{\text{max}}} \left( R_{\text{externo}}^2 - R_{\text{interno}}^2 \right) \, dy
\]
Donde:
- \( R_{\text{externo}}(y) \) es la distancia desde el eje de giro (el eje \( y \)) hasta el borde exterior de la región,
- \( R_{\text{interno}}(y) \) es la distancia desde el eje de giro hasta el borde interior (si existe),
- \( y_{\text{min}} \) y \( y_{\text{max}} \) son los límites de \( y \).

Sin embargo, en este problema no se menciona un radio interno, porque el sólido se genera a partir de la rotación de la curva desde el eje \( x \) hacia el eje \( y \).

### Paso 3: Usar el método de casquillos cilíndricos

Dado que el eje de rotación es el eje \( y \), usaremos el **método de casquillos cilíndricos**, que es más adecuado para rotaciones alrededor del eje \( y \).

La fórmula del volumen con este método es:
\[
V = 2\pi \int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} x \cdot f(x) \, dx
\]
Donde \( f(x) = 3x - x^3 \) es la función que define la curva, y los límites de integración son \( x_{\text{min}} = 0 \) y \( x_{\text{max}} = 1 \).

### Paso 4: Configurar la integral

La función a integrar es:
\[
V = 2\pi \int_0^1 x (3x - x^3) \, dx
\]

### Paso 5: Resolver la integral

Primero, expandimos el integrando:
\[
x (3x - x^3) = 3x^2 - x^4
\]
Por lo tanto, la integral se convierte en:
\[
V = 2\pi \int_0^1 (3x^2 - x^4) \, dx
\]

Ahora integramos término por término:
\[
\int_0^1 3x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 3 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 1
\]
\[
\int_0^1 x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{1}{5}
\]

Por lo tanto, el volumen es:
\[
V = 2\pi \left( 1 - \frac{1}{5} \right) = 2\pi \cdot \frac{4}{5} = \frac{8\pi}{5}
\]

### Resultado

El volumen del sólido generado al girar la región limitada por la curva \( y = 3x - x^3 \), el eje \( x \) y la recta \( x = 1 \) alrededor del eje \( y \) es:
\[
V = \frac{8\pi}{5}
\]

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se deducen los límites de integración en otros problemas similares?
2. ¿Qué diferencia hay entre el método de la arandela y el de casquillos cilíndricos?
3. ¿Cómo se resuelven integrales de funciones más complejas?
4. ¿Cuándo se usa cada método de rotación en torno a diferentes ejes?
5. ¿Cómo se calcula el área bajo la curva para distintas funciones?

**Tip:** El método de los casquillos cilíndricos es más sencillo de aplicar cuando se gira alrededor del eje \( y \) y la función está en términos de \( x \).

Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje 𝑦 la región limitada por la gráfica de 𝑦=3𝑥−𝑥³, el eje 𝑥 y la recta 𝑥=1. mediante el método de arandela y toma en cuenta que gira alrededor del eje y y que los límites de la integral son 0 a 2 resuélvelo paso a paso.

Calcule el volumen del sólido generado al girar la región delimitada por y = 3x - x³, el eje x y la recta x = 1 alrededor del eje y. Utiliza el método de casquillos cilíndricos para obtener el volumen exacto paso a paso.

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