verifique se o conjunto é subespaço w={(x,y,z,t)E R4: x+y=0 e z-t=0}

Para verificar se o conjunto \( W = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 : x + y = 0 \text{ e } z - t = 0\} \) é um **subespaço vetorial** de \( \mathbb{R}^4 \), é necessário verificar três propriedades que caracterizam um subespaço:

1. **Contém o vetor nulo**: O vetor \( (0, 0, 0, 0) \) deve pertencer ao conjunto \( W \).
2. **Fechado para adição**: Se \( \mathbf{u} \in W \) e \( \mathbf{v} \in W \), então \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \) deve pertencer a \( W \).
3. **Fechado para multiplicação por escalar**: Se \( \mathbf{u} \in W \) e \( c \) é um escalar real, então \( c \mathbf{u} \) deve pertencer a \( W \).

### 1. Contém o vetor nulo
O vetor nulo é \( (0, 0, 0, 0) \). Verificando as condições:

- \( x + y = 0 \Rightarrow 0 + 0 = 0 \) (verdadeiro)
- \( z - t = 0 \Rightarrow 0 - 0 = 0 \) (verdadeiro)

Portanto, o vetor nulo pertence a \( W \).

### 2. Fechamento para adição
Se \( \mathbf{u} = (x_1, y_1, z_1, t_1) \in W \) e \( \mathbf{v} = (x_2, y_2, z_2, t_2) \in W \), então temos:

- \( x_1 + y_1 = 0 \) e \( z_1 - t_1 = 0 \),
- \( x_2 + y_2 = 0 \) e \( z_2 - t_2 = 0 \).

Agora, somando os vetores:

\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, t_1 + t_2)
\]

Verificando as condições para \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \):

- \( (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = 0 + 0 = 0 \),
- \( (z_1 + z_2) - (t_1 + t_2) = (z_1 - t_1) + (z_2 - t_2) = 0 + 0 = 0 \).

Portanto, \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W \).

### 3. Fechamento para multiplicação por escalar
Se \( \mathbf{u} = (x, y, z, t) \in W \) e \( c \in \mathbb{R} \), então temos:

- \( x + y = 0 \) e \( z - t = 0 \).

Agora, multiplicando \( \mathbf{u} \) pelo escalar \( c \):

\[
c \mathbf{u} = (c x, c y, c z, c t)
\]

Verificando as condições para \( c \mathbf{u} \):

- \( (c x) + (c y) = c(x + y) = c \cdot 0 = 0 \),
- \( (c z) - (c t) = c(z - t) = c \cdot 0 = 0 \).

Portanto, \( c \mathbf{u} \in W \).

### Conclusão
Como o conjunto \( W \) contém o vetor nulo, é fechado para adição e é fechado para multiplicação por escalar, ele é um **subespaço vetorial** de \( \mathbb{R}^4 \).

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Aqui estão 5 questões relacionadas:
1. O que é necessário para que um conjunto seja um subespaço vetorial?
2. Como verificar o fechamento para a adição e multiplicação por escalar?
3. O que significa um vetor pertencer a um subespaço vetorial?
4. Como interpretar as condições \( x + y = 0 \) e \( z - t = 0 \) geometricamente?
5. Qual a relação entre subespaços vetoriais e sistemas lineares?

**Dica:** Um subespaço sempre contém o vetor nulo, o que é um critério essencial para verificar!

Learn how to verify if the set W = {(x, y, z, t) ∈ R4: x + y = 0 and z - t = 0} is a subspace of R4. This problem demonstrates key concepts in linear algebra, including the subspace test theorem, closure properties, and verification of vector spaces. Suitable for undergraduate students studying Linear Algebra.

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