Verifique que la funci´on u =
1
√
x2 + y2 + z2
satisface la ecuaci´on de Laplace
∂2u
∂x2 +
∂2u
∂y2 +
∂2u
∂y2 = 0.

Para verificar que la función \( u = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \) satisface la ecuación de Laplace, necesitamos calcular las segundas derivadas parciales de \( u \) con respecto a \( x \), \( y \), y \( z \), y luego comprobar si la suma de estas derivadas es igual a cero.

### Paso 1: Calcular las primeras derivadas parciales de \( u \)

Dado que \( u = (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2}} \), vamos a calcular la derivada parcial de \( u \) con respecto a \( x \):

\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2}} \right)
\]

Usando la regla de la cadena:

\[
\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{2} \cdot (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x = -\frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}
\]

De manera similar, las derivadas parciales con respecto a \( y \) y \( z \) son:

\[
\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}
\]
\[
\frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{z}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}
\]

### Paso 2: Calcular las segundas derivadas parciales de \( u \)

Ahora, calculamos las segundas derivadas parciales. Comencemos con \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \):

\[
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}} \right)
\]

Aplicamos la regla del producto:

\[
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -\frac{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} - 3x^2(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{1}{2}}}{(x^2 + y^2 + z^2)^3}
\]

Simplificamos el término común:

\[
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{2x^2 - (x^2 + y^2 + z^2)}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{5}{2}}}
\]

Finalmente:

\[
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{y^2 + z^2 - x^2}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{5}{2}}}
\]

De manera similar, para las otras segundas derivadas parciales:

\[
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{z^2 + x^2 - y^2}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{5}{2}}}
\]

\[
\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{x^2 + y^2 - z^2}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{5}{2}}}
\]

### Paso 3: Sumar las segundas derivadas parciales

Ahora, sumamos estas derivadas parciales para verificar si satisfacen la ecuación de Laplace:

\[
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{(y^2 + z^2 - x^2) + (z^2 + x^2 - y^2) + (x^2 + y^2 - z^2)}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{5}{2}}}
\]

Simplificando la expresión:

\[
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{2(x^2 + y^2 + z^2) - (x^2 + y^2 + z^2)}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{5}{2}}} = \frac{0}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{5}{2}}} = 0
\]

### Conclusión

Hemos verificado que la función \( u = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \) satisface la ecuación de Laplace:

\[
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0
\]

¿Te gustaría obtener más detalles o tienes alguna pregunta?

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### Tip

En problemas de simetría esférica, a menudo es más conveniente trabajar en coordenadas esféricas, donde la ecuación de Laplace toma una forma más simple.

Verifique que la función u = 1/√(x² + y² + z²) satisface la ecuación de Laplace ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² = 0.

This detailed solution verifies that the function u = 1/√(x² + y² + z²) satisfies Laplace's equation ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² = 0. It involves calculating partial derivatives and using key concepts from multivariable calculus and partial differential equations. Suitable for undergraduate students.

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