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necesito saber el resultado de H(x) graficamente para cada caso y el paso a paso del porque llegatse a ese resultado

Para resolver \( H(x) = \int_a^x f(t) \, dt \) utilizando los gráficos dados, necesitamos entender cómo la función \( f(t) \) afecta a \( H(x) \), que es la integral acumulada desde un punto \( a \) hasta \( x \). Analicemos cada gráfico por separado:

### Gráfico superior izquierdo:
- La función \( f(x) \) es constante y vale 2 en todo el dominio mostrado.
- Para encontrar \( H(x) \), integramos la constante:
  \[
  H(x) = \int_a^x 2 \, dt = 2(x - a)
  \]
- Esta es una función lineal de pendiente 2 que pasa por el origen si \( a = 0 \). Por lo tanto, el gráfico de \( H(x) \) será una recta con pendiente 2.

### Gráfico superior derecho:
- La función \( f(x) \) es una función a tramos. Es negativa para \( x < 4 \) y positiva para \( x > 4 \).
- Para \( x < 4 \), la integral \( H(x) \) acumula área negativa, lo que implica que \( H(x) \) decrece.
- Para \( x > 4 \), la integral acumula área positiva, lo que implica que \( H(x) \) empieza a aumentar.
  
  **Puntos clave para el análisis**:
  - En \( x = 4 \), \( H(x) \) podría alcanzar un valor mínimo, dependiendo del área acumulada antes de \( x = 4 \).
  - El gráfico de \( H(x) \) en \( x = 4 \) cambiará de decreciente a creciente, mostrando un punto crítico (mínimo).

### Resumen de los resultados:
- **Gráfico izquierdo de \( H(x) \)**: Será una línea recta con pendiente 2 que pasa por el origen si \( a = 0 \).
- **Gráfico derecho de \( H(x) \)**: Mostrará una curva que decrece hasta \( x = 4 \) y luego empieza a aumentar, con un mínimo en \( x = 4 \).

¿Quieres que profundice más en alguno de los pasos o tienes alguna pregunta adicional?

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### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la elección del punto \( a \) al gráfico de \( H(x) \)?
2. ¿Qué sucede con \( H(x) \) si la función \( f(x) \) tiene un valor negativo constante?
3. ¿Cómo se determina el signo de \( H(x) \) en función del signo de \( f(x) \)?
4. ¿Qué ocurre si \( f(x) \) tiene discontinuidades? ¿Cómo se refleja en \( H(x) \)?
5. ¿Qué interpretación tiene el área bajo la curva de \( f(x) \) en términos del gráfico de \( H(x) \)?

### Tip:
Cuando traces \( H(x) \), recuerda que su pendiente en cada punto es igual al valor de \( f(x) \) en ese punto.

Explore the graphical representation and step-by-step analysis of H(x) = ∫ₐₓ f(t) dt. Learn how different graphs of f(x) affect H(x), including constant and piecewise functions. Detailed explanations cover integral calculus concepts and graphical interpretations.

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