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Quiero obtener la expresión de la segunda imagen, a partir de la primera. Que debo hacer?

Para transformar la expresión de la primera imagen en la segunda, debes realizar una serie de simplificaciones y reorganizaciones de los términos. Aquí te detallo los pasos:

### Expresión original (Primera imagen):
\[
\frac{n!}{(x+1)!(n-x-1)!} \cdot p^x \cdot p \cdot \frac{q^{n-x}}{q} =
\]

### Expresión simplificada (Segunda imagen):
\[
\frac{p}{q} \cdot \frac{n-x}{x+1} \cdot \frac{n!}{x!(n-x)!} \cdot p^x \cdot q^{n-x} =
\]

### Pasos para transformar la primera en la segunda:

1. **Reorganizar los términos:**
   - Observa que en la primera expresión aparece un \(p \cdot p^x\), que puede combinarse en un solo término \(p^{x+1}\).

2. **Simplificar las fracciones con \(q\):**
   - El término \(\frac{q^{n-x}}{q}\) se puede simplificar como \(q^{n-x-1}\).

   Tras estas simplificaciones, la expresión ahora es:
   \[
   \frac{n!}{(x+1)!(n-x-1)!} \cdot p^{x+1} \cdot q^{n-x-1}
   \]

3. **Manipulación de factoriales:**
   - Expande el término \( (n-x)! \) en el denominador de la expresión objetivo para ver cómo se relaciona con la expresión actual. Observa que:
   \[
   (n-x)! = (n-x) \cdot (n-x-1)!
   \]
   Por lo tanto:
   \[
   \frac{1}{(n-x-1)!} = \frac{n-x}{(n-x)!}
   \]

4. **Multiplicación por \(\frac{n-x}{n-x}\) para ajustar:**
   - Multiplica la fracción factorial original por \(\frac{n-x}{n-x}\) para obtener:
   \[
   \frac{n!}{(x+1)! (n-x)!} \cdot (n-x)
   \]

5. **Reescribe la expresión completa:**
   - Ahora, reorganiza la expresión resultante:
   \[
   \frac{p}{q} \cdot \frac{n-x}{x+1} \cdot \frac{n!}{x! (n-x)!} \cdot p^x \cdot q^{n-x}
   \]

   Esto concuerda con la expresión en la segunda imagen.

### Conclusión:
La expresión final se logra al simplificar los términos combinatorios y reorganizar los factores, incluyendo la relación entre factoriales. Los pasos clave incluyen la simplificación del factorial y la multiplicación por \(\frac{n-x}{n-x}\) para obtener la estructura deseada.

¿Te gustaría ver la simplificación paso a paso en detalle con los cálculos numéricos, o tienes alguna otra pregunta sobre el proceso?

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### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué importancia tienen las combinaciones y permutaciones en la simplificación de expresiones factoriales?
2. ¿Cómo se simplifican expresiones combinatorias usando propiedades de los factoriales?
3. ¿Qué otros tipos de expresiones pueden beneficiarse de simplificaciones factoriales?
4. ¿Cómo afecta el cambio de bases en las potencias al simplificar expresiones?
5. ¿Por qué es útil reescribir expresiones combinatorias en términos de factoriales?

**Tip:** Multiplicar y dividir por la misma expresión puede ayudarte a simplificar términos factoriales, especialmente cuando buscas una forma específica de la expresión final.

Learn how to transform combinatorial expressions through simplification and factorial manipulation. This detailed guide covers step-by-step instructions on simplifying complex factorial expressions, including the manipulation of combinatorial formulas and factorial properties.

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