https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1727018500461o12jc59i.jpg

Let's address the questions from the image:

---

### **1. Bagian pertama:**

#### **Ekspansivitas Termal (β)** dan **Kompresibilitas Isotermal (κ)**

- **Ekspansivitas termal** (\(\beta\)) didefinisikan sebagai:
  \[
  \beta = \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P
  \]
  Artinya, ini adalah perubahan volume sistem terhadap temperatur pada tekanan tetap.

- **Kompresibilitas isotermal** (\(\kappa\)) didefinisikan sebagai:
  \[
  \kappa = -\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T
  \]
  Ini mengukur perubahan volume terhadap tekanan pada temperatur tetap.

**Tunjukkan bahwa**:
  \[
  \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = 0
  \]

Untuk menunjukkan ini, kita perlu menggunakan hubungan dasar dari persamaan keadaan gas ideal (\(PV = nRT\)) dan sifat turunan parsial. Dengan memandang volume sebagai variabel tetap, kita memanipulasi ekspresi turunan dan memperlihatkan bahwa nilai yang diminta adalah nol.

Langkah perhitungannya sebagai berikut:

1. Mulai dari persamaan gas ideal: \( P = \frac{nRT}{V} \)
2. Mengambil turunan parsial tekanan terhadap temperatur (\(T\)) dengan volume (\(V\)) tetap:
   \[
   \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = \frac{nR}{V}
   \]
3. Karena \(V\) tetap, turunan terhadap volume adalah nol, sehingga kita tunjukkan bahwa:
   \[
   \frac{\partial}{\partial T} \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T = 0
   \]

Ini mengimplikasikan bahwa perubahan tekanan dengan temperatur pada volume tetap adalah nol.

---

### **2. Bagian kedua:**

**Diberikan persamaan keadaan gas ideal**:
\[
PV = nRT
\]
di mana \(P\) adalah tekanan, \(V\) adalah volume, \(T\) adalah temperatur absolut, \(n\) adalah jumlah mol gas, dan \(R\) adalah konstanta gas.

Kita diminta menghitung perubahan laju volume, kecepatan, atau tekanan ketika beberapa parameter berubah. Dengan asumsi gas ideal, kita gunakan turunan parsial untuk menjawab setiap bagian soal.

- **a. Jika tekanan berkurang dengan laju 0,2 Pa/menit, bagaimana laju volumennya berubah?**

Dari persamaan gas ideal:
\[
\frac{dP}{dt} V + P \frac{dV}{dt} = 0
\]
\[
\frac{dV}{dt} = - \frac{V}{P} \frac{dP}{dt}
\]
Substitusikan nilai yang diketahui, misal perubahan tekanan \( \frac{dP}{dt} = -0.2 \text{ Pa/menit} \).

- **b. Jika volume gas berubah dengan laju 0,3 L/menit pada tekanan tetap, bagaimana laju temperatur berubah?**

Pada tekanan tetap (\(dP = 0\)), gunakan persamaan yang sama tetapi untuk \(T\). Jika \(V\) berubah dengan laju tertentu, kita gunakan:
\[
\frac{dV}{dt} = \frac{nR}{P} \frac{dT}{dt}
\]
Dari sini, kita bisa menghitung \(\frac{dT}{dt}\).

- **c. Jika tekanan gas berkurang dengan laju 0,4 Pa/menit dan volumenya bertambah dengan laju 3 L/menit, berapa cepat temperatur berubah?**

Kita perlu mengkombinasikan kedua efek tersebut (perubahan \(P\) dan \(V\)) menggunakan turunan parsial total dari persamaan gas ideal:
\[
\frac{dP}{dt} V + P \frac{dV}{dt} = nR \frac{dT}{dt}
\]
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui dan selesaikan untuk \(\frac{dT}{dt}\).

---

Apakah Anda ingin melihat solusi perhitungan lebih rinci untuk bagian tertentu? Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana kita menghitung turunan parsial untuk parameter lain dari persamaan keadaan gas ideal?
2. Bagaimana kita menerapkan konsep ekspansivitas termal dan kompresibilitas isotermal pada gas non-ideal?
3. Bagaimana mempengaruhi hasil jika kita mempertimbangkan gas ideal yang dipanaskan secara adiabatik?
4. Apakah hubungan antara kompresibilitas isotermal dan kompresibilitas adiabatik?
5. Bagaimana perubahan temperatur mempengaruhi energi internal dalam sistem gas ideal?

**Tip**: Saat bekerja dengan gas ideal, selalu ingat bahwa asumsi ini berlaku dengan baik pada kondisi rendah tekanan dan tinggi temperatur, tetapi mungkin gagal pada gas nyata di bawah tekanan ekstrem.

Explore how to apply partial derivatives in thermodynamics, focusing on thermal expansivity, isothermal compressibility, and the ideal gas law. Detailed explanations and solutions for undergraduate physics problems.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation