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这道题目涉及到不等式的推导和应用公式来证明某种关系。让我们详细解释一下图片中每个步骤的推导过程。

### 步骤 1：利用公式 \( a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \cdots + 1) \)

这一步使用了 **幂差公式**。给定 \( a^n - 1 \)，可以把它分解成一个因式 \( (a - 1) \)，乘以一系列幂次的和：

\[
a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \cdots + 1)
\]

这类似于因式分解，在多项式除法中常用。

### 步骤 2：不等式 \( \sqrt[n]{n} - 1 \)

接下来，问题引入了 \( \sqrt[n]{n} - 1 \) 这一表达式。我们希望通过一些代数操作来简化和分析这个式子，最终证明其不等式的成立。首先，对 \( \sqrt[n]{n} - 1 \) 的分子和分母做了一些操作。

\[
\sqrt[n]{n} - 1 = \frac{n-1}{n^{1} + n^{1/2} + \cdots + 1}
\]

这是基于前面的幂次和分解来做的。我们希望最终能够比较两边的不等式。

### 步骤 3：利用 \( n-1 \) 和 \( n \cdot \sqrt[n]{n} \) 的比较

这一步是核心的简化。我们知道 \( \sqrt[n]{n} \leq n-1 \)，于是可以推导出：

\[
\frac{n-1}{n \cdot \sqrt[n]{n}} \leq \frac{n-1}{n}
\]

通过分母分解及引入平方根、和式等操作，进一步得出：

\[
n \cdot \sqrt[n]{n} \leq n - 1
\]

### 步骤 4：两端的进一步简化

此时，我们将这个不等式的右端进一步简化，利用一些近似公式，例如 \( n^{1/2n} \leq \frac{2}{\sqrt{n}} \)，从而推导出更精确的上界。结果是：

\[
n^{1/2n} < \frac{2}{\sqrt{n}}
\]

这一步依赖于不等式的操作和分母的一些变换。

### 步骤 5：验证 \( n = 1, 2 \) 时的特殊情况

最后，特别指出当 \( n = 1, 2 \) 时，这些不等式显然成立。这是通过代入验证的特例。尤其是对较小的 \( n \) 值，公式的行为可能与一般情况有所不同，所以单独处理。

### 总结

整个不等式推导过程使用了多种数学技巧，包括幂次的分解、分式的简化以及平方根与分母的操作。最终目标是证明一个关于 \( \sqrt[n]{n} \) 的上界和下界不等式。

如果有进一步的疑问，欢迎提问！  
### 扩展问题：
1. 如何理解 \( a^n - 1 \) 的分解公式？
2. 为什么引入 \( \sqrt[n]{n} - 1 \) 作为分析的起点？
3. 在不等式推导中，为什么需要简化 \( \frac{n-1}{n^{1/2} + n^{1/3} + \cdots} \)？
4. \( n^{1/2n} \leq \frac{2}{\sqrt{n}} \) 是如何推导出来的？
5. 对 \( n = 1, 2 \) 特殊情况的处理有哪些其他例子？

### 小提示：
在处理复杂不等式时，掌握分式和幂次的简化技巧非常重要，特别是当涉及多个不同的幂次时，巧妙地使用公式和不等式能够快速推导出结果。

Learn how to solve an exponential inequality involving root functions and factorization. This detailed solution covers concepts such as the exponential factorization formula and inequalities. Suitable for university-level or advanced high school students.

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