Leia o trecho abaixo e responda:

 

A derivada de uma função descreve a taxa de variação instantânea da função em um certo ponto. Outra interpretação comum é que a derivada nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico da função em um ponto.

 

Resolva os exercícios passo a passo:

 

a) 30 x5 + 21x4 + 2x2 +10 

 

b) e5 + 45x3 + 9

 

c) sen 3x

 

d) cos 2x2

 

e) tg 5x3

Vamos resolver os exercícios passo a passo, aplicando as regras de derivação.

### a) Derivada de \( 30x^5 + 21x^4 + 2x^2 + 10 \)

1. **Primeiro termo**: \( 30x^5 \)
   - A derivada de \( x^n \) é \( n \cdot x^{n-1} \).
   - Derivando: \( 30 \cdot 5x^{5-1} = 150x^4 \).

2. **Segundo termo**: \( 21x^4 \)
   - Derivando: \( 21 \cdot 4x^{4-1} = 84x^3 \).

3. **Terceiro termo**: \( 2x^2 \)
   - Derivando: \( 2 \cdot 2x^{2-1} = 4x \).

4. **Quarto termo**: \( 10 \)
   - A derivada de uma constante é zero.

**Resposta**: A derivada de \( 30x^5 + 21x^4 + 2x^2 + 10 \) é:
\[
150x^4 + 84x^3 + 4x
\]

### b) Derivada de \( e^5 + 45x^3 + 9 \)

1. **Primeiro termo**: \( e^5 \)
   - \( e^5 \) é uma constante (pois \( e \) e \( 5 \) são constantes), então sua derivada é zero.

2. **Segundo termo**: \( 45x^3 \)
   - Derivando: \( 45 \cdot 3x^{3-1} = 135x^2 \).

3. **Terceiro termo**: \( 9 \)
   - A derivada de uma constante é zero.

**Resposta**: A derivada de \( e^5 + 45x^3 + 9 \) é:
\[
135x^2
\]

### c) Derivada de \( \sin(3x) \)

Para derivar \( \sin(3x) \), aplicamos a regra da cadeia:

1. A derivada de \( \sin(u) \) é \( \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} \).
2. Derivando \( \sin(3x) \):
   - \( u = 3x \), então \( \frac{du}{dx} = 3 \).
   - \( \frac{d}{dx}(\sin(3x)) = \cos(3x) \cdot 3 \).

**Resposta**: A derivada de \( \sin(3x) \) é:
\[
3\cos(3x)
\]

### d) Derivada de \( \cos(2x^2) \)

Novamente, aplicamos a regra da cadeia:

1. A derivada de \( \cos(u) \) é \( -\sin(u) \cdot \frac{du}{dx} \).
2. Derivando \( \cos(2x^2) \):
   - \( u = 2x^2 \), então \( \frac{du}{dx} = 4x \).
   - \( \frac{d}{dx}(\cos(2x^2)) = -\sin(2x^2) \cdot 4x \).

**Resposta**: A derivada de \( \cos(2x^2) \) é:
\[
-4x\sin(2x^2)
\]

### e) Derivada de \( \tan(5x^3) \)

Usando a regra da cadeia para derivar \( \tan(5x^3) \):

1. A derivada de \( \tan(u) \) é \( \sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx} \).
2. Derivando \( \tan(5x^3) \):
   - \( u = 5x^3 \), então \( \frac{du}{dx} = 15x^2 \).
   - \( \frac{d}{dx}(\tan(5x^3)) = \sec^2(5x^3) \cdot 15x^2 \).

**Resposta**: A derivada de \( \tan(5x^3) \) é:
\[
15x^2\sec^2(5x^3)
\]

---

**Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?**

**Aqui estão 5 perguntas relacionadas:**

1. Qual é a importância da regra da cadeia ao derivar funções compostas?
2. Como encontrar a derivada de uma função composta de mais de duas funções?
3. Qual é a interpretação geométrica da derivada de \( \cos(x) \)?
4. Como derivar funções trigonométricas inversas?
5. Como a derivada de \( \tan(x) \) se relaciona com a derivada de \( \sin(x) \) e \( \cos(x) \)?

**Dica**: Sempre que você encontrar uma função composta, como \( \sin(3x) \) ou \( \cos(2x^2) \), lembre-se de usar a regra da cadeia para derivar corretamente!

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