resuelbe este problema de desigualdades e intervalos  7
x−1 −
6
x2−1 ≤ 5


El problema que planteas es una desigualdad que implica fracciones y polinomios. Vamos a resolverlo paso a paso.

La desigualdad que tenemos es:

\[
\frac{7}{x - 1} - \frac{6}{x^2 - 1} \leq 5
\]

### Paso 1: Factorización del denominador \(x^2 - 1\)

Sabemos que \(x^2 - 1\) es una diferencia de cuadrados, por lo que podemos factorizarlo como:

\[
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
\]

Reescribimos la desigualdad:

\[
\frac{7}{x - 1} - \frac{6}{(x - 1)(x + 1)} \leq 5
\]

### Paso 2: Reducir a un denominador común

El denominador común será \((x - 1)(x + 1)\). Entonces, vamos a convertir ambos términos de la izquierda al mismo denominador:

El primer término \(\frac{7}{x - 1}\) lo multiplicamos por \((x + 1)\) en el numerador y el denominador:

\[
\frac{7}{x - 1} = \frac{7(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}
\]

Entonces, la desigualdad ahora es:

\[
\frac{7(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{6}{(x - 1)(x + 1)} \leq 5
\]

### Paso 3: Simplificar el numerador

Ahora, podemos juntar los términos en el numerador:

\[
\frac{7(x + 1) - 6}{(x - 1)(x + 1)} \leq 5
\]

Expandiendo el numerador:

\[
7(x + 1) = 7x + 7
\]

Por lo tanto, el numerador es:

\[
7x + 7 - 6 = 7x + 1
\]

Reescribimos la desigualdad como:

\[
\frac{7x + 1}{(x - 1)(x + 1)} \leq 5
\]

### Paso 4: Eliminar la fracción

Para eliminar la fracción, multiplicamos ambos lados de la desigualdad por \((x - 1)(x + 1)\), pero debemos tener cuidado con los signos, ya que este término puede ser positivo o negativo dependiendo del valor de \(x\). Por lo tanto, analizaremos los casos donde cambia de signo, es decir, en \(x = 1\) y \(x = -1\). Antes de eso, despejamos la desigualdad:

\[
7x + 1 \leq 5(x - 1)(x + 1)
\]

### Paso 5: Expandir y resolver la desigualdad

Expandiendo el lado derecho:

\[
5(x - 1)(x + 1) = 5(x^2 - 1) = 5x^2 - 5
\]

Ahora la desigualdad es:

\[
7x + 1 \leq 5x^2 - 5
\]

Restamos \(7x + 1\) de ambos lados para obtener:

\[
0 \leq 5x^2 - 7x - 6
\]

### Paso 6: Resolver la ecuación cuadrática

Tenemos ahora la inequación:

\[
5x^2 - 7x - 6 \geq 0
\]

Resolvemos la ecuación cuadrática \(5x^2 - 7x - 6 = 0\) usando la fórmula general:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde \(a = 5\), \(b = -7\) y \(c = -6\).

Calculamos el discriminante:

\[
\Delta = (-7)^2 - 4(5)(-6) = 49 + 120 = 169
\]

Las soluciones son:

\[
x = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{2(5)} = \frac{7 \pm 13}{10}
\]

Entonces, las soluciones son:

\[
x_1 = \frac{7 + 13}{10} = 2, \quad x_2 = \frac{7 - 13}{10} = -\frac{3}{5}
\]

### Paso 7: Determinar los intervalos

Las raíces son \(x = 2\) y \(x = -\frac{3}{5}\), por lo que los puntos críticos que dividen los intervalos son \(x = -1\), \(x = 1\), \(x = -\frac{3}{5}\), y \(x = 2\). Ahora debemos analizar el signo del polinomio en los intervalos definidos por estos puntos: \((-\infty, -1)\), \((-1, -\frac{3}{5})\), \((- \frac{3}{5}, 1)\), \((1, 2)\) y \((2, \infty)\).

### Paso 8: Conclusión

Hacemos un análisis de signos en estos intervalos y encontramos que la solución es:

\[
x \in \left( -\infty, -1 \right) \cup \left[ 2, \infty \right)
\]

Estos son los intervalos donde la desigualdad se cumple.

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso? Aquí hay algunas preguntas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se realizan pruebas de signos en intervalos?
2. ¿Cómo resolver desigualdades con fracciones?
3. ¿Qué otros métodos se pueden usar para resolver cuadráticas?
4. ¿Por qué es importante tener cuidado con los puntos de discontinuidad?
5. ¿Cómo podemos confirmar que la solución es correcta?

**Tip:** Siempre es importante verificar si \(x = 1\) o \(x = -1\) hacen que algún denominador se anule, ya que esto afecta la validez de las soluciones.

resuelbe este problema de desigualdades e intervalos  7x−1 − 6x2−1 ≤ 5

Discover how to solve the inequality involving rational expressions 7/(x-1) - 6/(x^2-1) ≤ 5 with a comprehensive step-by-step solution. This problem explores key algebraic concepts such as the difference of squares, quadratic equations, and sign analysis. Suitable for students in Grades 10-12.

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