Una función f
 es continua para cualquier x
 y satisface la ecuación

 

∫x0f(t)dt=−12+x2+xsin2x+12cos2x


para todo x
.   Calcular f(14π)yf′(14π)
.

La ecuación dada es:

\[
\int_{0}^{x} f(t) \, dt = -\frac{1}{2} + x^2 + x \sin(2x) + \frac{1}{2} \cos(2x)
\]

### Paso 1: Derivar ambos lados con respecto a \(x\)

Dado que queremos encontrar \(f(x)\), utilizamos el teorema fundamental del cálculo, el cual nos dice que si:

\[
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt
\]

Entonces:

\[
\frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} f(t) \, dt \right) = f(x)
\]

Por lo tanto, derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a \(x\):

\[
f(x) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{2} + x^2 + x \sin(2x) + \frac{1}{2} \cos(2x) \right)
\]

### Paso 2: Derivar la expresión del lado derecho

Derivamos cada término:

- La derivada de \(-\frac{1}{2}\) es \(0\).
- La derivada de \(x^2\) es \(2x\).
- La derivada de \(x \sin(2x)\) es \(\sin(2x) + 2x \cos(2x)\) (regla del producto).
- La derivada de \(\frac{1}{2} \cos(2x)\) es \(-\sin(2x)\) (utilizando la regla de la cadena).

Sumando todo, obtenemos:

\[
f(x) = 2x + \sin(2x) + 2x \cos(2x) - \sin(2x)
\]

Simplificando:

\[
f(x) = 2x + 2x \cos(2x)
\]

### Paso 3: Evaluar \(f\left(\frac{1}{4} \pi \right)\)

Ahora que tenemos la expresión para \(f(x)\), sustituimos \(x = \frac{1}{4} \pi\):

\[
f\left( \frac{1}{4} \pi \right) = 2 \cdot \frac{1}{4} \pi + 2 \cdot \frac{1}{4} \pi \cdot \cos\left( 2 \cdot \frac{1}{4} \pi \right)
\]

Calculamos:

\[
f\left( \frac{1}{4} \pi \right) = \frac{1}{2} \pi + \frac{1}{2} \pi \cdot \cos\left( \frac{\pi}{2} \right)
\]

Sabemos que \(\cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0\), por lo que:

\[
f\left( \frac{1}{4} \pi \right) = \frac{1}{2} \pi
\]

### Paso 4: Calcular \(f'\left( \frac{1}{4} \pi \right)\)

Para encontrar \(f'(x)\), derivamos la expresión de \(f(x)\):

\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x + 2x \cos(2x) \right)
\]

Usamos la regla del producto para el segundo término:

\[
f'(x) = 2 + 2 \cos(2x) + 2x (-2 \sin(2x))
\]

Simplificando:

\[
f'(x) = 2 + 2 \cos(2x) - 4x \sin(2x)
\]

Evaluamos en \(x = \frac{1}{4} \pi\):

\[
f'\left( \frac{1}{4} \pi \right) = 2 + 2 \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) - 4 \cdot \frac{1}{4} \pi \sin\left( \frac{\pi}{2} \right)
\]

Sabemos que \(\cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0\) y \(\sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1\), por lo que:

\[
f'\left( \frac{1}{4} \pi \right) = 2 - \pi
\]

### Respuesta Final:
- \(f\left( \frac{1}{4} \pi \right) = \frac{1}{2} \pi\)
- \(f'\left( \frac{1}{4} \pi \right) = 2 - \pi\)

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna duda?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se aplica el teorema fundamental del cálculo en otros contextos?
2. ¿Por qué la derivada de la integral devuelve la función dentro de la integral?
3. ¿Cómo se simplifica la derivada de productos como \(x \sin(2x)\)?
4. ¿Qué otros problemas pueden resolverse derivando integrales definidas?
5. ¿Cómo se comporta \(f(x)\) para valores grandes de \(x\)?

**Tip:** Para derivar productos de funciones, usa la **regla del producto**: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Una función f es continua para cualquier x y satisface la ecuación ∫x0f(t)dt=−12+x2+xsin2x+12cos2x para todo x. Calcular f(14π) y f′(14π).

This problem involves using the Fundamental Theorem of Calculus to solve for f(π/4) and f'(π/4), involving key calculus concepts such as integration and differentiation. A step-by-step guide is provided for solving this advanced calculus problem suitable for undergraduate students.

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