1) Simplifique (a ^ 4, a ^ 3) ^ 3 .(a^ 2 .b)^ 2 . 2) Simplifique as expressões, supondo a .b ne0. a) (a². b³)2.(a3.b²)3 b) ((a ^ 4 * b ^ 2) ^ 3)/((a * b ^ 2) ^ 2) c) [(a ^ 3, b ^ 2) ^ 2] ^ 3 d) ((a ^ 4 * b ^ 3)/(a ^ 2 * b)) ^ 5 e) ((a ^ 2 * b ^ 3) ^ 4 * (a ^ 3 * b ^ 4) ^ 2)/((a ^ 3 * b ^ 2) ^ 3)Se a c b são números reais, então em que condições (a + b) ^ 2 =a^ 2 +b^ 2 ? 4)Determine o menor número inteiro positivo x para 940x = M ^ 3 em que M é um número inteiro.

Vamos simplificar as expressões passo a passo.

### 1) Simplificar \((a^4 \cdot a^3)^3 \cdot (a^2 \cdot b)^2\)
**Passo 1: Simplificar os produtos dentro dos parênteses:**

\[
a^4 \cdot a^3 = a^{4+3} = a^7
\]

Agora, elevando ao cubo:

\[
(a^7)^3 = a^{7 \cdot 3} = a^{21}
\]

**Passo 2: Simplificar o segundo termo:**

\[
(a^2 \cdot b)^2 = a^{2 \cdot 2} \cdot b^{1 \cdot 2} = a^4 \cdot b^2
\]

**Passo 3: Multiplicar as duas expressões:**

\[
a^{21} \cdot (a^4 \cdot b^2) = a^{21+4} \cdot b^2 = a^{25} \cdot b^2
\]

Portanto, a expressão simplificada é:

\[
a^{25} \cdot b^2
\]

---

### 2) Simplificar as expressões:

**a) \((a^2 \cdot b^3)^2 \cdot (a^3 \cdot b^2)^3\)**

**Passo 1: Aplicar as potências:**

\[
(a^2 \cdot b^3)^2 = a^{2 \cdot 2} \cdot b^{3 \cdot 2} = a^4 \cdot b^6
\]
\[
(a^3 \cdot b^2)^3 = a^{3 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = a^9 \cdot b^6
\]

**Passo 2: Multiplicar as duas expressões:**

\[
a^4 \cdot b^6 \cdot a^9 \cdot b^6 = a^{4+9} \cdot b^{6+6} = a^{13} \cdot b^{12}
\]

Portanto, a expressão simplificada é:

\[
a^{13} \cdot b^{12}
\]

---

**b) \(\frac{(a^4 \cdot b^2)^3}{(a \cdot b^2)^2}\)**

**Passo 1: Simplificar numerador e denominador:**

Numerador:

\[
(a^4 \cdot b^2)^3 = a^{4 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = a^{12} \cdot b^6
\]

Denominador:

\[
(a \cdot b^2)^2 = a^{1 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} = a^2 \cdot b^4
\]

**Passo 2: Dividir o numerador pelo denominador:**

\[
\frac{a^{12} \cdot b^6}{a^2 \cdot b^4} = a^{12-2} \cdot b^{6-4} = a^{10} \cdot b^2
\]

Portanto, a expressão simplificada é:

\[
a^{10} \cdot b^2
\]

---

**c) \([(a^3 \cdot b^2)^2]^3\)**

**Passo 1: Simplificar a expressão dentro dos colchetes:**

\[
(a^3 \cdot b^2)^2 = a^{3 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} = a^6 \cdot b^4
\]

**Passo 2: Elevar a expressão ao cubo:**

\[
(a^6 \cdot b^4)^3 = a^{6 \cdot 3} \cdot b^{4 \cdot 3} = a^{18} \cdot b^{12}
\]

Portanto, a expressão simplificada é:

\[
a^{18} \cdot b^{12}
\]

---

**d) \(\left(\frac{a^4 \cdot b^3}{a^2 \cdot b}\right)^5\)**

**Passo 1: Simplificar a fração dentro dos parênteses:**

\[
\frac{a^4 \cdot b^3}{a^2 \cdot b} = a^{4-2} \cdot b^{3-1} = a^2 \cdot b^2
\]

**Passo 2: Elevar a expressão à quinta potência:**

\[
(a^2 \cdot b^2)^5 = a^{2 \cdot 5} \cdot b^{2 \cdot 5} = a^{10} \cdot b^{10}
\]

Portanto, a expressão simplificada é:

\[
a^{10} \cdot b^{10}
\]

---

**e) \(\frac{(a^2 \cdot b^3)^4 \cdot (a^3 \cdot b^4)^2}{(a^3 \cdot b^2)^3}\)**

**Passo 1: Simplificar o numerador:**

\[
(a^2 \cdot b^3)^4 = a^{2 \cdot 4} \cdot b^{3 \cdot 4} = a^8 \cdot b^{12}
\]
\[
(a^3 \cdot b^4)^2 = a^{3 \cdot 2} \cdot b^{4 \cdot 2} = a^6 \cdot b^8
\]

Multiplicando:

\[
a^8 \cdot b^{12} \cdot a^6 \cdot b^8 = a^{8+6} \cdot b^{12+8} = a^{14} \cdot b^{20}
\]

**Passo 2: Simplificar o denominador:**

\[
(a^3 \cdot b^2)^3 = a^{3 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = a^9 \cdot b^6
\]

**Passo 3: Dividir o numerador pelo denominador:**

\[
\frac{a^{14} \cdot b^{20}}{a^9 \cdot b^6} = a^{14-9} \cdot b^{20-6} = a^5 \cdot b^{14}
\]

Portanto, a expressão simplificada é:

\[
a^5 \cdot b^{14}
\]

---

### 3) Condições para \((a + b)^2 = a^2 + b^2\)

Expanda \((a + b)^2\):

\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

A igualdade \((a + b)^2 = a^2 + b^2\) ocorre apenas quando \(2ab = 0\), ou seja, quando \(a = 0\), \(b = 0\), ou \(a = -b\).

---

### 4) Determinar o menor número inteiro positivo \(x\) para que \(940x = M^3\), onde \(M\) é um número inteiro

Queremos que \(940x\) seja um cubo perfeito. Fatorando \(940\):

\[
940 = 2^2 \cdot 5 \cdot 47
\]

Para que \(940x\) seja um cubo perfeito, \(x\) deve conter fatores suficientes para elevar os expoentes de \(2\), \(5\), e \(47\) a múltiplos de 3.

- O fator \(2^2\) precisa de mais um fator \(2\), ou seja, \(x\) deve conter \(2^1\).
- O fator \(5^1\) precisa de mais dois fatores \(5\), ou seja, \(x\) deve conter \(5^2 = 25\).
- O fator \(47^1\) precisa de mais dois fatores \(47\), ou seja, \(x\) deve conter \(47^2 = 2209\).

Portanto, o menor \(x\) é:

\[
x = 2 \cdot 25 \cdot 2209 = 110450
\]

---

### Resumo:
1) \(a^{25} \cdot b^2\)
2a) \(a^{13} \cdot b^{12}\)
2b) \(a^{10} \cdot b^2\)
2c) \(a^{18} \cdot b^{12}\)
2d) \(a^{10} \cdot b^{10}\)
2e) \(a^5 \cdot b^{14}\)
3) \(a = 0\), \(b = 0\), ou \(a = -b\)
4) \(x = 110450\)

Tem alguma dúvida ou gostaria de mais detalhes? Aqui estão 5 perguntas relacionadas:
1. Como podemos manipular expoentes em expressões mais complexas?
2. O que define se

Simplifique (a ^ 4, a ^ 3) ^ 3 .(a^ 2 .b)^ 2 . 2) Simplifique as expressões, supondo a .b ne0. a) (a². b³)2.(a3.b²)3 b) ((a ^ 4 * b ^ 2) ^ 3)/((a * b ^ 2) ^ 2) c) [(a ^ 3, b ^ 2) ^ 2] ^ 3 d) ((a ^ 4 * b ^ 3)/(a ^ 2 * b)) ^ 5 e) ((a ^ 2 * b ^ 3) ^ 4 * (a ^ 3 * b ^ 4) ^ 2)/((a ^ 3 * b ^ 2) ^ 3)Se a c b são números reais, então em que condições (a + b) ^ 2 =a^ 2 +b^ 2 ? 4)Determine o menor número inteiro positivo x para 940x = M ^ 3 em que M é um número inteiro.

Learn how to simplify exponential expressions like (a^4 * a^3)^3 * (a^2 * b)^2 and solve problems involving perfect cubes. This guide covers key algebraic concepts such as laws of exponents, product of powers, and simplification. Suitable for students in Grades 10-12.

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