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Necesito encontrar el área del semicírculo sombreado en términos de k, la línea tangencial al semicírculo sombreado equivale a 5k

Para resolver el problema de encontrar el área del semicírculo sombreado en términos de \( k \), partimos de la información proporcionada en la imagen. En la figura:

- \( O_1 \) es el centro del semicírculo menor sombreado, de radio \( r \).
- \( O_2 \) es el centro del semicírculo mayor, de radio \( R \).
- Se menciona que la línea tangencial a ambos semicírculos tiene una longitud de \( 5k \), y que el triángulo formado tiene lados de longitud \( 2k \) y \( 3k \).

### Paso 1: Establecer relaciones geométricas

Dado que la tangente común a los semicírculos mide \( 5k \), podemos deducir que la distancia entre los puntos \( A \) y \( B \) es la suma de los radios de los dos semicírculos:

\[
R + r = 5k
\]

Además, los triángulos formados tienen lados proporcionales de \( 2k \) y \( 3k \). Esto implica que el radio del semicírculo mayor \( R \) está relacionado con el radio del semicírculo menor \( r \) de alguna forma que respetará esta proporción.

### Paso 2: Expresar los radios en función de \( k \)

Sabemos que:

- \( R = 3k \)
- \( r = 2k \)

Esto satisface la ecuación de la tangente común \( R + r = 5k \), ya que:

\[
3k + 2k = 5k
\]

### Paso 3: Calcular el área del semicírculo sombreado

El área de un semicírculo se calcula como la mitad del área de un círculo completo, es decir, \( \frac{1}{2} \pi r^2 \).

Para el semicírculo sombreado, el radio es \( r = 2k \), por lo que su área es:

\[
A = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2k)^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 4k^2 = 2\pi k^2
\]

### Resultado final:

El área del semicírculo sombreado es \( 2\pi k^2 \).

¿Te gustaría más detalles sobre la solución o tienes alguna pregunta? Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la tangente común a la relación entre los radios de los semicírculos?
2. ¿Por qué la tangente común es igual a la suma de los radios?
3. ¿Qué sucedería con el área si se cambia la proporción entre \( r \) y \( R \)?
4. ¿Cómo cambiaría el área si solo se diera el valor de la tangente y no las proporciones?
5. ¿Qué papel juega el valor de \( k \) en la determinación de las áreas de los semicírculos?

**Tip:** Siempre que trabajes con figuras geométricas que involucran tangentes, radios y proporciones, identifica las relaciones clave que conectan estas variables para simplificar el cálculo de áreas o longitudes.

Learn how to calculate the area of the shaded semicircle in terms of k when the tangent line is 5k. This problem involves circle properties, tangent lines, and triangle proportions. Suitable for high school students in Grades 9-11.

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