7 Spieler (A, B, C, D, E, F, G) sitzen an einem Tisch und würfeln.
Die Regel besagt, dass der Verlierer eines Spiels allen anderen Spielern so viel zahlen muss, wie sie bereits vor sich auf dem Platz liegen haben.
Wie der Zufall so will, verlieren der Reihenfolge nach die Spieler A, B, C, D, E, F und zum Schluss verliert der Spieler G.
Nach dieser Runde haben alle Spieler jeweils 100000 Euro vor sich liegen.
Wie viel hatten die einzelnen Spieler zu Beginn des Spiels?
Gesucht ist die Summe der Beträge der Spieler A und G zu Beginn des Spiels in Cent.

 

Um die Beträge der Spieler zu Beginn des Spiels zu berechnen, müssen wir den Spielverlauf Schritt für Schritt durchgehen und die Auswirkungen der Verluste jedes Spielers berücksichtigen. Beginnen wir mit der Analyse.

### Grundidee:
- Wenn ein Spieler verliert, muss er jedem anderen Spieler so viel zahlen, wie dieser bereits vor sich liegen hat.
- Nach den Verlusten aller Spieler (A, B, C, D, E, F und schließlich G) haben alle 100.000 Euro vor sich liegen.

### Rückwärtsanalyse:
Wir beginnen am Ende und arbeiten uns rückwärts zu den Startbeträgen.

1. **Nach dem Verlust von Spieler G:** 
   - Alle Spieler haben danach 100.000 Euro. 
   - Vor dem Verlust von G hatte er 0 Euro und alle anderen Spieler hatten jeweils 100.000 Euro.

2. **Vor dem Verlust von G:**
   - Bevor G verlor, hatte G den Betrag \( x_7 \), und alle anderen Spieler hatten den Betrag \( x_6 \).
   - G muss jedem der anderen 6 Spieler je \( x_6 \) zahlen. 
   - Daraus ergibt sich: \( 100.000 = x_6 + x_6 = 2x_6 \), also hatte jeder andere Spieler \( 50.000 \) Euro vor sich liegen.
   - G hatte vor dem Verlust \( x_7 = 300.000 \) Euro, da er 6 × 50.000 Euro verloren hat.

3. **Vor dem Verlust von F:**
   - Bevor F verlor, hatte F \( x_6 \), und die anderen hatten \( x_5 \).
   - F muss jedem der anderen 6 Spieler je \( x_5 \) zahlen.
   - Daraus ergibt sich: \( 50.000 = x_5 + x_5 = 2x_5 \), also hatte jeder andere Spieler \( 25.000 \) Euro vor sich liegen.
   - F hatte \( x_6 = 150.000 \), da er 6 × 25.000 Euro verloren hat.

4. **Vor dem Verlust von E:**
   - Bevor E verlor, hatte E \( x_5 \), und die anderen hatten \( x_4 \).
   - E muss jedem der anderen 6 Spieler je \( x_4 \) zahlen.
   - Daraus ergibt sich: \( 25.000 = x_4 + x_4 = 2x_4 \), also hatte jeder andere Spieler \( 12.500 \) Euro vor sich liegen.
   - E hatte \( x_5 = 75.000 \), da er 6 × 12.500 Euro verloren hat.

5. **Vor dem Verlust von D:**
   - Bevor D verlor, hatte D \( x_4 \), und die anderen hatten \( x_3 \).
   - D muss jedem der anderen 6 Spieler je \( x_3 \) zahlen.
   - Daraus ergibt sich: \( 12.500 = x_3 + x_3 = 2x_3 \), also hatte jeder andere Spieler \( 6.250 \) Euro vor sich liegen.
   - D hatte \( x_4 = 37.500 \), da er 6 × 6.250 Euro verloren hat.

6. **Vor dem Verlust von C:**
   - Bevor C verlor, hatte C \( x_3 \), und die anderen hatten \( x_2 \).
   - C muss jedem der anderen 6 Spieler je \( x_2 \) zahlen.
   - Daraus ergibt sich: \( 6.250 = x_2 + x_2 = 2x_2 \), also hatte jeder andere Spieler \( 3.125 \) Euro vor sich liegen.
   - C hatte \( x_3 = 18.750 \), da er 6 × 3.125 Euro verloren hat.

7. **Vor dem Verlust von B:**
   - Bevor B verlor, hatte B \( x_2 \), und die anderen hatten \( x_1 \).
   - B muss jedem der anderen 6 Spieler je \( x_1 \) zahlen.
   - Daraus ergibt sich: \( 3.125 = x_1 + x_1 = 2x_1 \), also hatte jeder andere Spieler \( 1.562,5 \) Euro vor sich liegen.
   - B hatte \( x_2 = 9.375 \), da er 6 × 1.562,5 Euro verloren hat.

8. **Vor dem Verlust von A:**
   - Bevor A verlor, hatte A \( x_1 \), und die anderen hatten jeweils \( x_0 \).
   - A muss jedem der anderen 6 Spieler je \( x_0 \) zahlen.
   - Daraus ergibt sich: \( 1.562,5 = 2x_0 \), also hatte jeder andere Spieler \( 781,25 \) Euro vor sich liegen.
   - A hatte \( x_1 = 4.687,5 \), da er 6 × 781,25 Euro verloren hat.

### Summen der Startbeträge von A und G:
- \( x_1 = 4.687,5 \) Euro = 468.750 Cent (Startbetrag von A)
- \( x_7 = 300.000 \) Euro = 30.000.000 Cent (Startbetrag von G)

Die gesuchte Summe der Startbeträge von A und G ist:

\[
468.750 + 30.000.000 = 30.468.750 \, \text{Cent}.
\]

### Ergebnis:
Die Summe der Startbeträge der Spieler A und G beträgt **30.468.750 Cent**.

Möchtest du eine detailliertere Erklärung oder hast du Fragen?

Hier sind 5 verwandte Fragen, um das Verständnis zu vertiefen:
1. Wie verändert sich das Spiel, wenn sich die Reihenfolge der Verluste ändert?
2. Was wäre der Startbetrag von Spieler F bei einer anderen Verlustrunde?
3. Wie lässt sich die Summe der Beträge von A und G algebraisch ausdrücken?
4. Wie beeinflusst die Anzahl der Spieler das Startkapital jedes Einzelnen?
5. Was passiert, wenn die Verlustregel angepasst wird (z.B. doppelte Zahlungen)?

**Tipp:** Rückwärtsanalyse ist eine effektive Methode, um komplizierte Spielabläufe zu verstehen.

7 Spieler (A, B, C, D, E, F, G) sitzen an einem Tisch und würfeln. Die Regel besagt, dass der Verlierer eines Spiels allen anderen Spielern so viel zahlen muss, wie sie bereits vor sich auf dem Platz liegen haben. Wie der Zufall so will, verlieren der Reihenfolge nach die Spieler A, B, C, D, E, F und zum Schluss verliert der Spieler G. Nach dieser Runde haben alle Spieler jeweils 100000 Euro vor sich liegen. Wie viel hatten die einzelnen Spieler zu Beginn des Spiels? Gesucht ist die Summe der Beträge der Spieler A und G zu Beginn des Spiels in Cent.

Analyze the backward calculation to determine the starting amounts of 7 players in a dice game, where each loser pays the rest of the players what they have on the table. Learn how the amounts evolve with each player's loss and calculate the total starting sum of players A and G in cents.

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