Resolva a integral indefinida, e elevado a t\2 + raiz quadrada de t + 1\t dx

A expressão fornecida \(\int e^{t/2} + \sqrt{t} + \frac{1}{t} \, dx\) parece conter três termos diferentes. Vou abordar a resolução da integral desses termos individualmente.

### Passo 1: Separe a integral
Podemos escrever a integral como a soma de três integrais distintas:
\[
\int e^{t/2} \, dx + \int \sqrt{t} \, dx + \int \frac{1}{t} \, dx
\]

### Passo 2: Integre cada termo separadamente

1. **Primeiro termo:** \(\int e^{t/2} \, dx\)

   Esse termo parece estar mal formulado, pois temos \(e^{t/2}\) em função de \(t\) mas a integral está em relação a \(x\). Acredito que a integral correta seja em relação a \(t\), ou se for em relação a \(x\), uma substituição seja necessária. Se integrarmos em relação a \(t\), a solução seria:

   \[
   \int e^{t/2} \, dt = 2e^{t/2} + C_1
   \]

2. **Segundo termo:** \(\int \sqrt{t} \, dx\)

   Novamente, parece que a integral deveria ser em relação a \(t\). Se for em relação a \(t\), então a integral seria:

   \[
   \int \sqrt{t} \, dt = \int t^{1/2} \, dt = \frac{2}{3} t^{3/2} + C_2
   \]

3. **Terceiro termo:** \(\int \frac{1}{t} \, dx\)

   Se integrarmos em relação a \(t\), a solução seria:

   \[
   \int \frac{1}{t} \, dt = \ln|t| + C_3
   \]

### Passo 3: Combine as soluções
Somando todas as integrais, temos:

\[
\int \left(e^{t/2} + \sqrt{t} + \frac{1}{t}\right) \, dt = 2e^{t/2} + \frac{2}{3}t^{3/2} + \ln|t| + C
\]

### Resposta final:

\[
\int \left(e^{t/2} + \sqrt{t} + \frac{1}{t}\right) \, dt = 2e^{t/2} + \frac{2}{3}t^{3/2} + \ln|t| + C
\]

Caso a integral esteja de fato em função de \(x\), seria necessário um esclarecimento para ajustar a abordagem.

Quer mais detalhes ou tem alguma pergunta?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para você explorar:

1. Como se resolve integrais indefinidas que envolvem funções exponenciais?
2. O que fazer se uma integral parecer mal formulada ou confusa?
3. Como integrar raízes quadradas em termos de uma variável?
4. Como integrar funções do tipo \(\frac{1}{t}\)?
5. Por que é importante esclarecer a variável de integração?

**Dica**: Sempre verifique a variável de integração antes de iniciar o processo de integração para evitar erros.

Explore the solution to the indefinite integral \(\int e^{t/2} + \sqrt{t} + \frac{1}{t} \, dt\). Learn step-by-step how to integrate each term, including exponential functions, square roots, and reciprocals. Suitable for advanced high school students and calculus enthusiasts.

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