Sea G = GL2(R) el grupo general lineal y H = {



1 n
0 1


 |n ∈ Z}, pruebe que:
a) H es subgrupo de G.
b) H es un subgrupo cíclico de G

Sea \( G = \text{GL}_2(\mathbb{R}) \), el grupo de matrices invertibles de \( 2 \times 2 \) con entradas reales, y \( H = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid n \in \mathbb{Z} \right\} \), el conjunto de matrices de la forma dada, donde \( n \) es un número entero.

Vamos a demostrar los dos puntos planteados:

### a) \( H \) es subgrupo de \( G \)

Para que \( H \) sea un subgrupo de \( G \), debe cumplir las tres propiedades de un subgrupo:
1. **Cerradura bajo la operación de grupo (multiplicación de matrices)**.
2. **Existencia del elemento identidad**.
3. **Existencia de inversos**.

#### 1. Cerradura bajo la multiplicación de matrices
Sean \( A = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), con \( n, m \in \mathbb{Z} \). Veamos qué ocurre cuando multiplicamos \( A \) y \( B \):

\[
A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n+m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
\]

Como \( n + m \in \mathbb{Z} \), el resultado es una matriz de la misma forma que los elementos de \( H \). Por lo tanto, \( H \) es cerrado bajo la multiplicación de matrices.

#### 2. Elemento identidad
La matriz identidad de \( G \) es \( I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). Esta matriz es un elemento de \( H \) cuando \( n = 0 \). Por lo tanto, \( H \) contiene al elemento identidad.

#### 3. Existencia de inversos
Dada una matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), queremos encontrar su inverso \( A^{-1} \). El inverso de una matriz de esta forma es:

\[
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
\]

Como \( -n \in \mathbb{Z} \), este inverso también pertenece a \( H \).

Por lo tanto, \( H \) cumple con las tres propiedades y es un subgrupo de \( G \).

### b) \( H \) es un subgrupo cíclico de \( G \)

Un subgrupo es cíclico si existe un elemento \( A \in H \) tal que todos los elementos de \( H \) pueden escribirse como \( A^k \) para algún \( k \in \mathbb{Z} \).

Consideremos la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). Podemos verificar que cualquier elemento de \( H \), es decir, cualquier matriz \( \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) con \( n \in \mathbb{Z} \), se puede expresar como una potencia de \( A \):

\[
A^k = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^k = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
\]

Por lo tanto, \( H \) es generado por la matriz \( A \), es decir, \( H \) es un subgrupo cíclico de \( G \).

---

Si tienes alguna duda o te gustaría más detalles, avísame.

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se caracteriza un grupo abeliano en términos de matrices?
2. ¿Es \( H \) isomorfo a algún grupo conocido de números enteros?
3. ¿Qué propiedades adicionales tienen los subgrupos cíclicos en otros grupos?
4. ¿Puede un subgrupo cíclico ser infinito? ¿Cómo se aplica esto en el caso de \( H \)?
5. ¿Qué sucede si cambiamos las entradas de las matrices \( H \) por otros números distintos de enteros?

### Tip:
Un subgrupo cíclico se genera por un solo elemento. Esto simplifica la estructura del subgrupo, ya que todos los elementos son potencias del generador.

Sea G = GL2(R) el grupo general lineal y H = { [1 n | 0 1] |n ∈ Z}, pruebe que: a) H es subgrupo de G. b) H es un subgrupo cíclico de G

Explore how to prove that the set of matrices H = { [1 n | 0 1] | n ∈ Z} is a subgroup and a cyclic subgroup of GL2(R). This solution demonstrates key group theory concepts, matrix multiplication, and the structure of cyclic subgroups, suitable for undergraduate math students.

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