Dizemos que um conjunto A de pontos do plano é convexo se, dados dois pontos distintos P, Q ∈ A, o segmento de reta PQ está totalmente contido em A. 

Prove que a interseção de dois conjuntos convexos também é um conjunto convexo. 


Para provar que a interseção de dois conjuntos convexos também é um conjunto convexo, vamos considerar dois conjuntos convexos \( A \) e \( B \) no plano.

### Definição de Conjunto Convexo
Um conjunto \( C \) é convexo se, para quaisquer dois pontos \( P \) e \( Q \) pertencentes a \( C \), o segmento de reta \( PQ \) está totalmente contido em \( C \). 

### Prova
Seja \( C = A \cap B \), onde \( C \) é a interseção de \( A \) e \( B \). Precisamos mostrar que \( C \) é convexo.

1. **Sejam \( P \) e \( Q \) dois pontos quaisquer em \( C \)**. 
    - Como \( P \) e \( Q \) pertencem a \( C \), então, por definição de interseção, \( P \) e \( Q \) pertencem tanto a \( A \) quanto a \( B \). Portanto, \( P \in A \) e \( P \in B \), e \( Q \in A \) e \( Q \in B \).

2. **Como \( A \) é convexo**, o segmento de reta \( PQ \) está totalmente contido em \( A \), ou seja, \( PQ \subseteq A \).

3. **Como \( B \) é convexo**, o segmento de reta \( PQ \) também está totalmente contido em \( B \), ou seja, \( PQ \subseteq B \).

4. **Conclusão sobre \( C \)**:
   - Se \( PQ \subseteq A \) e \( PQ \subseteq B \), então \( PQ \) está contido na interseção de \( A \) e \( B \), ou seja, \( PQ \subseteq C \).

Como \( PQ \subseteq C \) para quaisquer \( P, Q \in C \), segue que \( C \) é convexo.

Portanto, a interseção de dois conjuntos convexos é também um conjunto convexo. 

**Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?** 

**Aqui estão algumas perguntas relacionadas:**

1. Como seria a prova se tivéssemos mais de dois conjuntos convexos?
2. O que acontece com a união de dois conjuntos convexos? A união é sempre convexa?
3. Como podemos definir a convexidade em dimensões maiores?
4. Como a convexidade se relaciona com outras propriedades geométricas, como a concavidade?
5. Que tipos de funções ou operações preservam a convexidade de conjuntos?

**Dica:** Lembre-se que a convexidade é uma propriedade crucial em várias áreas da matemática, como a otimização, onde soluções dentro de conjuntos convexos garantem a presença de mínimos e máximos globais ao longo do conjunto.

Explore a mathematical proof that demonstrates the intersection of two convex sets remains convex. This proof involves understanding convex sets and their properties, specifically how segments of lines within these sets retain convexity. Suitable for advanced high school students and beyond.

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