Un coleccionista de arte compró por $1000 un cuadro de un artista cuya obra aumenta de valor con frecuencia
 respecto al tiempo y de acuerdo a la fórmula dV/dt = 5t^3/2 + 10t + 50; donde V dólares es el valor previsto de un 
 cuadro t años después de su compra. Si está fórmula fuese válida para los siguientes 6 años, ¿cuál sería el valor
 previsto del cuadro 4 años después?

La fórmula que nos da el cambio del valor de la obra respecto al tiempo es:

\[
\frac{dV}{dt} = \frac{5t^3}{2} + 10t + 50
\]

Para encontrar el valor del cuadro después de 4 años, necesitamos integrar esta ecuación para obtener la función $ V(t) $, que representará el valor del cuadro en función del tiempo.

### Paso 1: Integrar la ecuación

\[
V(t) = \int \left( \frac{5t^3}{2} + 10t + 50 \right) dt
\]

Integramos término a término:

- $\int \frac{5t^3}{2} dt = \frac{5}{2} \cdot \frac{t^4}{4} = \frac{5t^4}{8}$
- $\int 10t dt = 10 \cdot \frac{t^2}{2} = 5t^2$
- $\int 50 dt = 50t$

Entonces, la función $ V(t) $ es:

\[
V(t) = \frac{5t^4}{8} + 5t^2 + 50t + C
\]

### Paso 2: Determinar la constante de integración $ C $

Sabemos que en el momento de la compra (cuando $ t = 0 $), el valor del cuadro era de $ V(0) = 1000 $. Entonces:

\[
V(0) = \frac{5(0)^4}{8} + 5(0)^2 + 50(0) + C = 1000
\]

Esto nos da:

\[
C = 1000
\]

Por lo tanto, la función completa es:

\[
V(t) = \frac{5t^4}{8} + 5t^2 + 50t + 1000
\]

### Paso 3: Calcular el valor después de 4 años

Ahora evaluamos $ V(4) $:

\[
V(4) = \frac{5(4)^4}{8} + 5(4)^2 + 50(4) + 1000
\]

Resolviendo paso a paso:

- $ (4)^4 = 256 $, entonces $ \frac{5 \times 256}{8} = 160 $
- $ (4)^2 = 16 $, entonces $ 5 \times 16 = 80 $
- $ 50 \times 4 = 200 $

Sumamos los términos:

\[
V(4) = 160 + 80 + 200 + 1000 = 1440
\]

Por lo tanto, el valor previsto del cuadro 4 años después es **1440 dólares**.

¿Te gustaría más detalles sobre los pasos o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se integran funciones polinómicas?
2. ¿Qué pasa si la fórmula cambia en lugar de ser dV/dt = 5t^3/2 + 10t + 50?
3. ¿Cómo influye el tiempo en el valor de una inversión según una fórmula diferencial?
4. ¿Cómo se ajustaría la constante si el cuadro se hubiera comprado por un valor diferente?
5. ¿Qué significaría un valor negativo en la función de derivada del valor de un cuadro?

**Tip:** Para resolver problemas de crecimiento o decrecimiento, integrar la tasa de cambio es clave para encontrar la función que describe el valor total.

Un coleccionista de arte compró por $1000 un cuadro de un artista cuya obra aumenta de valor con frecuencia respecto al tiempo y de acuerdo a la fórmula dV/dt = 5t^3/2 + 10t + 50; donde V dólares es el valor previsto de un cuadro t años después de su compra. Si está fórmula fuese válida para los siguientes 6 años, ¿cuál sería el valor previsto del cuadro 4 años después?

Descubre cómo predecir el valor de una obra de arte comprada por $1000 usando la fórmula diferencial dV/dt = 5t^3/2 + 10t + 50, integrando la función para calcular el valor después de 4 años. Ideal para estudiantes de cálculo en los grados 11-12 y primeros años universitarios.

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