p=x^100 -X^4+X-1 Et f=X^3+X^2+X+1 Reste de la division de p par f




Pour trouver le reste de la division de \( p = X^{100} - X^4 + X - 1 \) par \( f = X^3 + X^2 + X + 1 \), nous pouvons utiliser la division euclidienne de polynômes, ou appliquer un procédé plus direct basé sur la relation cyclique des racines de \( f \).

### Étape 1 : Factorisation de \( f(X) \)
Le polynôme \( f(X) = X^3 + X^2 + X + 1 \) peut être réécrit comme :
\[
f(X) = \frac{X^4 - 1}{X - 1}
\]
Ceci est vrai lorsque \( X \neq 1 \). Cela implique que les racines de \( f(X) \) sont les racines quartes de l’unité (c’est-à-dire \( \omega \), où \( \omega^4 = 1 \)).

### Étape 2 : Utilisation des propriétés cycliques
Les racines de \( f(X) \) sont les nombres complexes \( \omega = e^{i\pi/2} \), \( \omega^2 \), \( \omega^3 \), et \( \omega^4 = 1 \). En utilisant ces racines, nous pouvons exploiter la périodicité des puissances de \( X \) modulo \( f(X) \). En particulier, toute puissance de \( X \) se réduit à un polynôme de degré inférieur à 3, car \( X^4 \equiv 1 \mod f(X) \).

### Étape 3 : Réduction des termes de \( p(X) \)
Puisque \( X^4 \equiv 1 \mod f(X) \), nous avons :
\[
X^{100} = (X^4)^{25} = 1^{25} = 1 \mod f(X)
\]
Ainsi, on peut réduire \( p(X) \) modulo \( f(X) \) :
\[
p(X) = X^{100} - X^4 + X - 1 \equiv 1 - 1 + X - 1 = X - 1 \mod f(X)
\]

### Conclusion
Le reste de la division de \( p(X) \) par \( f(X) \) est donc :
\[
R(X) = X - 1
\]

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

### Questions relatives :
1. Pouvez-vous appliquer ce procédé pour un autre polynôme \( p(X) \) avec un exposant différent ?
2. Quelle est l'importance des racines de l’unité dans la division de polynômes ?
3. Comment pourrait-on trouver le reste de \( X^7 + X^5 + X^3 \) divisé par \( f(X) = X^3 + X^2 + X + 1 \) ?
4. Quelle est la méthode générale pour trouver le reste de la division euclidienne de polynômes ?
5. Comment les propriétés des puissances cycliques peuvent-elles simplifier des calculs dans d'autres contextes mathématiques ?

### Astuce :
Utiliser les propriétés des racines de l’unité peut simplifier la résolution de nombreux problèmes impliquant des puissances de polynômes.

p = X^100 - X^4 + X - 1 and f = X^3 + X^2 + X + 1. Find the remainder of the division of p by f.

Explore how to find the remainder of dividing p(X) = X^100 - X^4 + X - 1 by f(X) = X^3 + X^2 + X + 1 using Euclidean polynomial division and properties of cyclic powers. This advanced polynomial problem is ideal for students in Grades 11-12 or early college courses.

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