Una empresa produce 3 tipos de productos: A, B y C, los cuales deben ser procesados en tres máquinas I, II y III. El tiempo requerido en horas para el procesamiento del tipo A es de 3 horas en la máquina I, 1
hora en la máquina II y 2 horas en la máquina III; para el producto B, 1 hora en I, 2 horas en II y 3 horas en III; y para el producto C, 2 horas en I, 1 hora en II y 1 hora en III. La máquina I está disponible durante 490 horas, la máquina lI
durante 310 horas y la máquina III durante 560 horas. ¿Cuántos artículos de cada tipo A, B y C se pueden producir con el tiempo total disponible en las máquinas? Escribe un sistema de ecuaciones que modele las unidades producidas de
cada producto y el tiempo disponible en las máquinas.

Para resolver este problema, debemos plantear un sistema de ecuaciones lineales que modele la producción de los productos \( A \), \( B \) y \( C \) en función del tiempo disponible en cada una de las máquinas.

Sea:
- \( x \): el número de unidades del producto \( A \) que se van a producir.
- \( y \): el número de unidades del producto \( B \) que se van a producir.
- \( z \): el número de unidades del producto \( C \) que se van a producir.

### Tiempos de producción por máquina:

1. **Máquina I:**
   - Producto A: 3 horas por unidad
   - Producto B: 1 hora por unidad
   - Producto C: 2 horas por unidad
   - Tiempo disponible: 490 horas

   La ecuación para la máquina I es:
   \[
   3x + y + 2z = 490
   \]

2. **Máquina II:**
   - Producto A: 1 hora por unidad
   - Producto B: 2 horas por unidad
   - Producto C: 1 hora por unidad
   - Tiempo disponible: 310 horas

   La ecuación para la máquina II es:
   \[
   x + 2y + z = 310
   \]

3. **Máquina III:**
   - Producto A: 2 horas por unidad
   - Producto B: 3 horas por unidad
   - Producto C: 1 hora por unidad
   - Tiempo disponible: 560 horas

   La ecuación para la máquina III es:
   \[
   2x + 3y + z = 560
   \]

### Sistema de ecuaciones

El sistema de ecuaciones que modela este problema es:

\[
\begin{aligned}
3x + y + 2z &= 490 \quad \text{(Máquina I)} \\
x + 2y + z &= 310 \quad \text{(Máquina II)} \\
2x + 3y + z &= 560 \quad \text{(Máquina III)}
\end{aligned}
\]

Este sistema de ecuaciones lineales se puede resolver utilizando métodos como eliminación de Gauss, sustitución o matrices para determinar cuántos artículos de cada tipo \( A \), \( B \) y \( C \) se pueden producir.

¿Te gustaría que resolviera este sistema de ecuaciones para encontrar el valor de \( x \), \( y \) y \( z \)? 

---

Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se resolvería este sistema de ecuaciones usando el método de sustitución?
2. ¿Cómo se puede utilizar el método de eliminación de Gauss para resolver el sistema?
3. ¿Qué pasaría si se agregara una cuarta máquina con un tiempo limitado? ¿Cómo afectaría eso al sistema?
4. ¿Cuál sería el impacto en la producción si una máquina tuviera menos tiempo disponible?
5. ¿Cómo se puede interpretar el sistema de ecuaciones si las horas disponibles fueran ilimitadas?

**Tip:** Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, el método de matrices es eficiente cuando se trabaja con más de dos variables.

Learn how to optimize production in manufacturing by solving systems of linear equations. Explore a detailed example of production constraints and machine availability to maximize product output. Suitable for advanced high school students and beyond.

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