6. ¿Qué tasa de interés nominal ha ganado un capital de $20,000 que se ha incrementado a $50,000 en 3 años, si dicho interés se capitaliza: 
a) Mensualmente? 


Para encontrar la tasa de interés nominal anual, vamos a usar la fórmula del **monto compuesto**:

\[
A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}
\]

Donde:
- $A$ es el monto final (en este caso, $50,000).
- $P$ es el capital inicial (en este caso, $20,000).
- $r$ es la tasa de interés nominal anual que queremos encontrar.
- $n$ es la frecuencia de capitalización (mensualmente significa $n = 12$).
- $t$ es el tiempo en años (en este caso, 3 años).

### Paso 1: Aplicamos los datos a la fórmula:

\[
50,000 = 20,000 \left(1 + \frac{r}{12}\right)^{12 \times 3}
\]

### Paso 2: Simplificamos la ecuación:

\[
50,000 = 20,000 \left(1 + \frac{r}{12}\right)^{36}
\]

Dividimos ambos lados entre $20,000$:

\[
2.5 = \left(1 + \frac{r}{12}\right)^{36}
\]

### Paso 3: Resolvemos para $r$:

Tomamos la raíz 36 de ambos lados para eliminar el exponente:

\[
\left(2.5\right)^{\frac{1}{36}} = 1 + \frac{r}{12}
\]

Calculamos la raíz 36 de 2.5:

\[
2.5^{\frac{1}{36}} \approx 1.02587
\]

Entonces:

\[
1.02587 = 1 + \frac{r}{12}
\]

Restamos 1 de ambos lados:

\[
0.02587 = \frac{r}{12}
\]

Multiplicamos ambos lados por 12:

\[
r \approx 0.3104
\]

### Paso 4: Convertimos a porcentaje:

La tasa de interés nominal anual es aproximadamente:

\[
r \approx 31.04\%
\]

**Conclusión**: La tasa de interés nominal anual es aproximadamente **31.04%**, con capitalización mensual.

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué fórmula se utiliza para el interés simple en lugar del compuesto?
2. ¿Cómo cambia la fórmula si la capitalización es anual en vez de mensual?
3. ¿Cuál sería la tasa si el monto final fuera de $40,000 en lugar de $50,000?
4. ¿Cómo afecta la frecuencia de capitalización a la tasa de interés efectiva?
5. ¿Cómo se calcula la tasa efectiva anual a partir de la tasa nominal?

**Tip**: Cuanto mayor sea la frecuencia de capitalización, mayor será la tasa efectiva comparada con la tasa nominal.

¿Qué tasa de interés nominal ha ganado un capital de $20,000 que se ha incrementado a $50,000 en 3 años, si dicho interés se capitaliza mensualmente?

Find out how to calculate the nominal interest rate for a capital of $20,000 that grows to $50,000 in 3 years with monthly compounding. This problem involves understanding compound interest and using the formula A = P(1 + r/n)^(nt). Suitable for students in Grades 10-12.

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