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Vamos a resolver los límites que aparecen en los ejercicios de la imagen:

### Ejercicio 1:
\[
\lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{3x^2 - y^2 + 5}{x^2 + y^2 + 2}
\]

- El denominador nunca se anula porque \(x^2 + y^2 + 2 \geq 2\). Entonces el límite es continuo.
- Sustituyendo directamente \(x = 0\) y \(y = 0\) en la función:
\[
\frac{3(0)^2 - (0)^2 + 5}{(0)^2 + (0)^2 + 2} = \frac{5}{2}.
\]
Por lo tanto, el límite es \(\boxed{\frac{5}{2}}\).

---

### Ejercicio 2:
\[
\lim_{(x, y) \to (0,4)} \frac{x}{\sqrt{y}}
\]

- Sustituyendo \(x = 0\) y \(y = 4\) directamente:
\[
\frac{0}{\sqrt{4}} = \frac{0}{2} = 0.
\]
El límite es \(\boxed{0}\).

---

### Ejercicio 3:
\[
\lim_{(x, y) \to (3,4)} \sqrt{x^2 + y^2 - 1}
\]

- Evaluamos la función en el punto \((x, y) = (3,4)\):
\[
\sqrt{3^2 + 4^2 - 1} = \sqrt{9 + 16 - 1} = \sqrt{24}.
\]
Por lo tanto, el límite es \(\boxed{\sqrt{24}} = 2\sqrt{6}\).

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### Ejercicio 4:
\[
\lim_{(x, y) \to (2,-3)} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)^2
\]

- Sustituyendo \(x = 2\) y \(y = -3\):
\[
\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{-3} \right)^2 = \left( \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \right)^2 = \left( \frac{1}{6} \right)^2 = \frac{1}{36}.
\]
El límite es \(\boxed{\frac{1}{36}}\).

---

### Ejercicio 5:
\[
\lim_{(x, y) \to (0, \frac{\pi}{4})} \sec{x} \tan{y}
\]

- Sustituyendo \(x = 0\) y \(y = \frac{\pi}{4}\):
\[
\sec{0} = 1 \quad \text{y} \quad \tan{\frac{\pi}{4}} = 1.
\]
Entonces:
\[
1 \cdot 1 = 1.
\]
El límite es \(\boxed{1}\).

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### Ejercicio 6:
\[
\lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{\cos(x + y) + y^3}{x + y + 1}
\]

- Evaluamos en \(x = 0\) y \(y = 0\):
\[
\frac{\cos(0 + 0) + (0)^3}{0 + 0 + 1} = \frac{1 + 0}{1} = 1.
\]
El límite es \(\boxed{1}\).

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre los cálculos? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se evalúan límites en dos variables cuando el denominador nunca se anula?
2. ¿Qué técnicas se pueden utilizar para evaluar límites que parecen indefinidos al principio?
3. ¿Cómo podemos verificar si un límite existe o no cuando la función tiene un comportamiento distinto dependiendo de la dirección?
4. ¿Qué sucede si una función tiene un denominador que tiende a cero, pero el numerador no?
5. ¿Por qué es importante probar diferentes direcciones al evaluar límites multivariables?

**Tip**: Siempre intenta simplificar la función antes de evaluar el límite directamente, ya que esto puede ayudar a evitar posibles errores.

Obtén los límites en los ejercicios 1-6

Learn how to solve multivariable limits with detailed solutions for exercises 1-6. This guide covers algebraic and trigonometric concepts, including the secant-tangent identity, square roots, and cosine functions. Suitable for undergraduate students studying calculus.

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