\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}

求该代数式的最小值，我是初一的学生，请给出完整的解题过程

我们要计算代数式 \(\sqrt{x^2+4} + \sqrt{(12 - x)^2 + 9}\) 的最小值。下面是完整的解题过程：

### 第一步：代数式的几何解释

注意到式子中的每一部分都是一个平方和的平方根，这类似于在平面直角坐标系中计算点与点之间的距离。因此，式子 \(\sqrt{x^2 + 4}\) 可以看作点 \((x, 0)\) 与点 \((0, 2)\) 的距离；同样，\(\sqrt{(12 - x)^2 + 9}\) 可以看作点 \((x, 0)\) 与点 \((12, 3)\) 的距离。

因此，整个式子可以理解为：

- 点 \((x, 0)\) 到点 \((0, 2)\) 的距离，加上
- 点 \((x, 0)\) 到点 \((12, 3)\) 的距离。

这等价于计算从点 \((0, 2)\) 到点 \((12, 3)\) 经过某个点 \((x, 0)\) 的两段距离的和。

### 第二步：利用几何性质寻找最短路径

根据平面几何学中的**两点之间线段最短**的原理，最短路径应该是直接从点 \((0, 2)\) 到点 \((12, 3)\) 的距离。

我们可以直接计算这两点之间的距离。根据两点之间的距离公式：

\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

带入两点 \((0, 2)\) 和 \((12, 3)\) 的坐标，计算得：

\[
d = \sqrt{(12 - 0)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{12^2 + 1^2} = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145}
\]

所以，从点 \((0, 2)\) 到点 \((12, 3)\) 的最短距离为 \(\sqrt{145}\)。

### 第三步：确认最小值

由于从 \((0, 2)\) 到 \((12, 3)\) 直接走线段的距离是最短的，因此当 \(x\) 取某个值时，使得代数式 \(\sqrt{x^2+4} + \sqrt{(12-x)^2+9}\) 的值最小。实际上，当 \(x\) 为使得这两段路径变成一条直线时，代数式的最小值就是 \(\sqrt{145}\)。

### 第四步：确定 \(x\) 的值

要使得这两段路径构成一条直线，可以设 \(x = 12\) 的内分点。此时，直线段的最短长度就是 \(\sqrt{145}\)，且代数式的最小值为 \(\sqrt{145}\)。

### 答案

因此，代数式 \(\sqrt{x^2+4} + \sqrt{(12-x)^2+9}\) 的最小值为 \(\sqrt{145}\)。

---

希望这个过程对你有帮助！如果有不明白的地方或者你想了解更多细节，随时告诉我。

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### 小提示

在解题时，如果看到平方和的平方根，可以联想到几何中的距离问题，帮助你快速简化问题。

求该代数式的最小值，我是初一的学生，请给出完整的解题过程: \sqrt{x^2+4} + \sqrt{(12-x)^2+9}

了解如何求代数式 \sqrt{x^2+4} + \sqrt{(12-x)^2+9} 的最小值。此问题运用几何与代数知识，包含详细的解题步骤，适合初一学生（Grades 7-8）。

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