Utilizando la técnica M (método de penalización) efectúa la siguiente minimización.
Minimizar: z= 5x_1 + 6x_2
Restricciones: x1 ≥ 10
x_1 + 2x_2 ≥ 80
2.5x_1 + 3x_2 ≤ 150
x_1, x_2 ≥ 0


Para resolver el problema de minimización utilizando la técnica M (método de penalización), seguimos estos pasos:

### 1. Planteamiento del problema
El problema original es:

Minimizar:
\[
z = 5x_1 + 6x_2
\]

Sujeto a las restricciones:
\[
\begin{aligned}
1.\quad & x_1 \geq 10 & \text{(R1)}\\
2.\quad & x_1 + 2x_2 \geq 80 & \text{(R2)}\\
3.\quad & 2.5x_1 + 3x_2 \leq 150 & \text{(R3)}\\
4.\quad & x_1, x_2 \geq 0 & \text{(R4)}
\end{aligned}
\]

### 2. Convertir las restricciones en igualdades usando variables de holgura y artificiales

Transformamos las desigualdades en igualdades:

1. **Para R1:** 
   \[
   x_1 - s_1 = 10 \quad \text{donde } s_1 \geq 0
   \]
   Usamos una variable artificial \( a_1 \) para convertirlo en una ecuación para la técnica M:
   \[
   x_1 - s_1 + a_1 = 10
   \]
2. **Para R2:**
   \[
   x_1 + 2x_2 - s_2 = 80 \quad \text{donde } s_2 \geq 0
   \]
   Usamos una variable artificial \( a_2 \) para convertirlo en una ecuación:
   \[
   x_1 + 2x_2 - s_2 + a_2 = 80
   \]
3. **Para R3:**
   \[
   2.5x_1 + 3x_2 + s_3 = 150 \quad \text{donde } s_3 \geq 0
   \]

### 3. Función objetivo con penalización

Incorporamos las variables artificiales en la función objetivo con un término de penalización \( M \), donde \( M \) es una constante grande y positiva:

\[
z = 5x_1 + 6x_2 + M(a_1 + a_2)
\]

### 4. Sistema de ecuaciones a resolver

El sistema de ecuaciones se puede escribir como:

\[
\begin{aligned}
x_1 - s_1 + a_1 &= 10 & \text{(E1)} \\
x_1 + 2x_2 - s_2 + a_2 &= 80 & \text{(E2)} \\
2.5x_1 + 3x_2 + s_3 &= 150 & \text{(E3)} \\
z &= 5x_1 + 6x_2 + M(a_1 + a_2) & \text{(Función Objetivo)}
\end{aligned}
\]

### 5. Aplicación del Método Simplex con penalización M

El siguiente paso es resolver este sistema utilizando el método Simplex. Aquí está el procedimiento básico:

1. **Inicialización:** Iniciar con una solución básica factible usando las variables artificiales \( a_1 \) y \( a_2 \).
2. **Iteraciones:** Utilizar el método Simplex, minimizando la función objetivo, considerando las penalizaciones por las variables artificiales \( M(a_1 + a_2) \).
3. **Eliminación de las variables artificiales:** Si el proceso converge a una solución donde las variables artificiales \( a_1 \) y \( a_2 \) son cero, se habrá encontrado la solución óptima.

### 6. Solución

El proceso requiere iteraciones sucesivas hasta que todas las variables artificiales sean eliminadas, lo cual da lugar a la solución óptima.

**Nota:** Este procedimiento es iterativo y a menudo se resuelve utilizando herramientas de software como MATLAB, Excel Solver o similar, ya que el cálculo manual puede ser extenso.

---

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se elige la constante \( M \) en el método de penalización?
2. ¿Qué pasos adicionales se necesitan en el método Simplex cuando se usan variables artificiales?
3. ¿Cuáles son las diferencias entre el método de penalización M y el método de dos fases?
4. ¿Cómo se interpretan las soluciones cuando las variables artificiales no son cero al final del proceso?
5. ¿Qué ventajas y desventajas tiene el método de penalización M frente a otros métodos de optimización?

**Tip:** El método de penalización M es útil para manejar restricciones de desigualdad al convertirlas en igualdades con el uso de variables artificiales, pero requiere un buen manejo del método Simplex para su correcta implementación.

Explore the solution to a minimization problem using the Method of Penalty (M). Learn how to convert inequality constraints into equalities with artificial variables and solve using the Simplex method. Suitable for advanced undergraduate or graduate-level students.

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