Caribe Travel frece un crucero para un grupo de 10 personas a USD 200 por cada una, pero les hace una rebaja de USD 4 por cada personal adicional que se incorpore al viaje. ¿Con cuántas personas la agencia de cruceros obtendrá un ingreso máximo? ¿Cuál será ese ingreso máximo?

Dado el problema, podemos plantear la situación de la siguiente manera:

- **Precio inicial por persona**: USD 200.
- **Descuento por persona adicional**: USD 4 por cada persona adicional.
- **Número inicial de personas**: 10.

Si $ x $ es el número de personas adicionales que se unen al grupo de 10 personas, el número total de personas en el viaje será $ 10 + x $.

El precio por persona disminuye en $ 4x $ debido al descuento, así que el nuevo precio por persona es $ 200 - 4x $.

### Función de ingresos:
El ingreso total $ I(x) $ está dado por el número de personas que viajan multiplicado por el precio que pagan. Es decir,

\[
I(x) = (10 + x)(200 - 4x)
\]

### Desarrollo de la función:

Expandimos la expresión:

\[
I(x) = (10 + x)(200 - 4x) = 10(200 - 4x) + x(200 - 4x)
\]
\[
= 2000 - 40x + 200x - 4x^2
\]
\[
= 2000 + 160x - 4x^2
\]

La función que describe los ingresos es:

\[
I(x) = -4x^2 + 160x + 2000
\]

### Determinación del máximo:
La función $ I(x) $ es una parábola con coeficiente negativo ($ -4x^2 $), lo que indica que tiene un máximo. La coordenada $ x $ del vértice de una parábola $ ax^2 + bx + c $ está dada por:

\[
x = -\frac{b}{2a}
\]

En nuestro caso, $ a = -4 $ y $ b = 160 $, por lo que:

\[
x = -\frac{160}{2(-4)} = \frac{160}{8} = 20
\]

Esto significa que se necesitan 20 personas adicionales (aparte de las 10 iniciales) para maximizar los ingresos.

### Número total de personas:
El número total de personas que maximiza los ingresos es:

\[
10 + 20 = 30 \text{ personas}
\]

### Ingreso máximo:
Sustituyendo $ x = 20 $ en la función de ingresos $ I(x) $:

\[
I(20) = -4(20)^2 + 160(20) + 2000
\]
\[
I(20) = -4(400) + 3200 + 2000
\]
\[
I(20) = -1600 + 3200 + 2000 = 3600
\]

### Respuesta final:
- El número de personas que maximiza los ingresos es **30 personas**.
- El ingreso máximo es **USD 3600**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre la resolución?

**Preguntas relacionadas**:
1. ¿Cómo se deriva la fórmula de la parábola para obtener el vértice?
2. ¿Cómo cambiaría la respuesta si el descuento por persona adicional fuera mayor?
3. ¿Cuál sería el ingreso total si se suman solo 15 personas adicionales?
4. ¿Qué pasa con el ingreso si el grupo es menor de 10 personas?
5. ¿Cómo afecta un cambio en el precio base del crucero a la solución?

**Tip**: La fórmula del vértice de una parábola se puede usar siempre para encontrar máximos o mínimos de funciones cuadráticas en muchos problemas de optimización.

Caribe Travel frece un crucero para un grupo de 10 personas a USD 200 por cada una, pero les hace una rebaja de USD 4 por cada persona adicional que se incorpore al viaje. ¿Con cuántas personas la agencia de cruceros obtendrá un ingreso máximo? ¿Cuál será ese ingreso máximo?

Discover how to use quadratic functions to maximize the revenue for a cruise where the price per person decreases by $4 for each additional traveler. This problem explores the concepts of revenue maximization, quadratic equations, and the vertex formula. The solution shows that 30 people will maximize the revenue at USD 3600. Ideal for students in Grades 9-12.

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