Um sistema dinâmico é um modelo matemático que descreve a evolução de um sistema ao longo do tempo. Ele é caracterizado por um conjunto de variáveis de estado que mudam em resposta a regras ou equações específicas. Sistemas dinâmicos são usados para modelar uma ampla variedade de fenômenos naturais e artificiais, desde a mecânica clássica até a economia e a biologia.

Considere o sistema a seguir:
E1 = x + 4y

E2 = 2x - 3y

a) Qual a matriz que representa o sistema formado pelas equações E1 e E2?

b) Qual o determinante da matriz de “a”?

c) Qual a matriz inversa da matriz de “a”?


Para resolver o problema, vamos abordar cada parte da questão:

### a) Qual a matriz que representa o sistema formado pelas equações \(E_1\) e \(E_2\)?

Dado o sistema:

\[
E_1 = x + 4y
\]
\[
E_2 = 2x - 3y
\]

Podemos expressar essas equações na forma de uma matriz \(A\) e um vetor de incógnitas \(\mathbf{x}\), da seguinte forma:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & -3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
E_1 \\
E_2
\end{pmatrix}
\]

Então, a matriz \(A\) que representa o sistema é:

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & -3
\end{pmatrix}
\]

### b) Qual o determinante da matriz \(A\)?

O determinante da matriz \(A\) é calculado da seguinte forma:

\[
\text{det}(A) = (1)(-3) - (4)(2) = -3 - 8 = -11
\]

Portanto, o determinante da matriz \(A\) é \(-11\).

### c) Qual a matriz inversa da matriz \(A\)?

Para encontrar a inversa de uma matriz \(2 \times 2\), usamos a fórmula:

\[
A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
\]

Para a matriz \(A\), temos:

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & -3
\end{pmatrix}
\]

Substituindo os valores:

\[
A^{-1} = \frac{1}{-11} \cdot \begin{pmatrix}
-3 & -4 \\
-2 & 1
\end{pmatrix}
\]

\[
A^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{3}{11} & \frac{4}{11} \\
\frac{2}{11} & -\frac{1}{11}
\end{pmatrix}
\]

Então, a matriz inversa \(A^{-1}\) é:

\[
A^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{3}{11} & \frac{4}{11} \\
\frac{2}{11} & -\frac{1}{11}
\end{pmatrix}
\]

Se você tiver dúvidas ou precisar de mais detalhes, sinta-se à vontade para perguntar!

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**Dica:** Quando o determinante de uma matriz é zero, a matriz é chamada de "singular", o que significa que ela não possui uma inversa.

Explore matrix representation and matrix inverses through a detailed example of solving systems of equations. Learn how to find the determinant and inverse of a 2x2 matrix, essential in mathematical modeling across various disciplines.

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