Se A =  
 
  
 
 1 2
 2 1
 e B =  
 
  
 
 2 0
 1 3 , calcule (A.B-1)T

Vamos calcular a expressão \((A \cdot B^{-1})^T\), onde \(A\) e \(B\) são as matrizes fornecidas. Vamos seguir o processo passo a passo:

### 1. Identificar as matrizes \(A\) e \(B\)
As matrizes são dadas como:

\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
\]

### 2. Encontrar \(B^{-1}\) (a inversa de \(B\))

Para encontrar a inversa de \(B\), usamos a fórmula para a inversa de uma matriz 2x2:

\[
B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
\]

Onde \(B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\). Neste caso, temos:

\[
B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad a = 2, b = 0, c = 1, d = 3
\]

O determinante de \(B\) é:

\[
\det(B) = (2)(3) - (0)(1) = 6
\]

Assim, a inversa de \(B\) é:

\[
B^{-1} = \frac{1}{6} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}
\]

### 3. Multiplicar \(A\) por \(B^{-1}\)

Agora, multiplicamos \(A\) por \(B^{-1}\):

\[
A \cdot B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}
\]

Calculando cada elemento da matriz resultante:

- Primeira linha, primeira coluna: \((1 \cdot \frac{1}{2}) + (2 \cdot -\frac{1}{6}) = \frac{1}{2} - \frac{2}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}\)
- Primeira linha, segunda coluna: \((1 \cdot 0) + (2 \cdot \frac{1}{3}) = 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\)
- Segunda linha, primeira coluna: \((2 \cdot \frac{1}{2}) + (1 \cdot -\frac{1}{6}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\)
- Segunda linha, segunda coluna: \((2 \cdot 0) + (1 \cdot \frac{1}{3}) = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)

Assim, temos:

\[
A \cdot B^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & \frac{2}{3} \\ \frac{5}{6} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}
\]

### 4. Transpor o resultado \((A \cdot B^{-1})^T\)

Agora, encontramos a transposta da matriz resultante. A transposta troca as linhas pelas colunas:

\[
(A \cdot B^{-1})^T = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & \frac{5}{6} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}
\]

### Resultado final:

\[
(A \cdot B^{-1})^T = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & \frac{5}{6} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}
\]

Isso conclui o cálculo da expressão \((A \cdot B^{-1})^T\).

---

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão algumas perguntas relacionadas para expandir seu entendimento:
1. Como encontrar a inversa de uma matriz 3x3?
2. Qual é a importância da transposta de uma matriz em álgebra linear?
3. Quais são os passos para encontrar o determinante de uma matriz 3x3?
4. Como as matrizes são aplicadas na resolução de sistemas de equações lineares?
5. O que significa uma matriz ser "inversível"?

**Dica:** Lembre-se que, para que uma matriz 2x2 tenha inversa, seu determinante não pode ser zero!

Se A = [1 2, 2 1] e B = [2 0, 1 3], calcule (A.B^-1)^T

Step-by-step solution to calculate (A.B^-1)^T for matrices A = [1 2; 2 1] and B = [2 0; 1 3]. This solution covers matrix inversion, multiplication, and transposition, including the use of the inverse matrix formula for 2x2 matrices. Suitable for undergraduate students in Linear Algebra.

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