•	Calcule la matriz inversa mediante la aplicación del algoritmo 
de eliminación de Gauss-Jordán. 
paso a paso utilizando la siguiente matris  	\mathbit{D}=\left(\begin{matrix}\mathbf{1}&\mathbf{4}&-\mathbf{4}\\\mathbf{0}&\mathbf{5}&\mathbf{2}\\-\mathbf{3}&\mathbf{0}&\mathbf{6}\\\end{matrix}\right)

Para calcular la **matriz inversa** de la matriz \( D \) usando el **método de eliminación de Gauss-Jordán**, seguimos una serie de pasos que consisten en transformar la matriz original \( D \) en la **matriz identidad** \( I \) mientras aplicamos las mismas operaciones elementales a la matriz identidad que iniciamos junto con \( D \).

Dada la matriz \( D \):

\[
D = \begin{pmatrix}
1 & 4 & -4 \\
0 & 5 & 2 \\
-3 & 0 & 6
\end{pmatrix}
\]

#### Paso 1: Formar la matriz aumentada
Primero, formamos una **matriz aumentada** \( [D | I] \), donde \( I \) es la matriz identidad de 3x3:

\[
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 4 & -4 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 2  & 0 & 1 & 0 \\
-3 & 0 & 6 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array} \right)
\]

#### Paso 2: Convertir el pivote \( a_{11} = 1 \)
El pivote en la primera fila, primera columna ya es 1, así que no necesitamos hacer cambios.

#### Paso 3: Eliminar las entradas debajo del pivote \( a_{11} \)
Ahora eliminamos la entrada \( a_{31} = -3 \) (debajo del pivote en la primera columna).

Para esto, sumamos \( 3 \) veces la primera fila a la tercera fila:

\[
F_3 \leftarrow F_3 + 3F_1
\]

Esto nos da:

\[
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 4 & -4  & 1 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 2   & 0 & 1 & 0 \\
0 & 12 & -6 & 3 & 0 & 1 \\
\end{array} \right)
\]

#### Paso 4: Convertir el pivote \( a_{22} = 5 \) a 1
Para esto, dividimos toda la segunda fila por \( 5 \):

\[
F_2 \leftarrow \frac{1}{5}F_2
\]

Esto da:

\[
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 4 & -4    & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & \frac{2}{5}  & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\
0 & 12 & -6   & 3 & 0 & 1 \\
\end{array} \right)
\]

#### Paso 5: Eliminar las entradas por encima y debajo del pivote \( a_{22} \)
Primero, eliminamos la entrada \( a_{12} = 4 \) (arriba del pivote):

\[
F_1 \leftarrow F_1 - 4F_2
\]

Esto da:

\[
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & -\frac{28}{5} & 1 & -\frac{4}{5} & 0 \\
0 & 1 & \frac{2}{5}   & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\
0 & 12 & -6   & 3 & 0 & 1 \\
\end{array} \right)
\]

Luego, eliminamos la entrada \( a_{32} = 12 \) (debajo del pivote):

\[
F_3 \leftarrow F_3 - 12F_2
\]

Esto da:

\[
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & -\frac{28}{5} & 1 & -\frac{4}{5} & 0 \\
0 & 1 & \frac{2}{5}   & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\
0 & 0 & -\frac{18}{5} & 3 & -\frac{12}{5} & 1 \\
\end{array} \right)
\]

#### Paso 6: Convertir el pivote \( a_{33} = -\frac{18}{5} \) a 1
Dividimos toda la tercera fila por \( -\frac{18}{5} \):

\[
F_3 \leftarrow -\frac{5}{18}F_3
\]

Esto da:

\[
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & -\frac{28}{5}  & 1 & -\frac{4}{5} & 0 \\
0 & 1 & \frac{2}{5}    & 0 & \frac{1}{5}  & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\frac{5}{6} & \frac{10}{6} & -\frac{5}{18} \\
\end{array} \right)
\]

#### Paso 7: Eliminar las entradas por encima del pivote \( a_{33} \)
Eliminamos la entrada \( a_{13} = -\frac{28}{5} \):

\[
F_1 \leftarrow F_1 + \frac{28}{5}F_3
\]

Esto da:

\[
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{4}{3} & -\frac{7}{9} \\
0 & 1 & \frac{2}{5}   & 0 & \frac{1}{5}  & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\frac{5}{6} & \frac{10}{6} & -\frac{5}{18} \\
\end{array} \right)
\]

Luego, eliminamos la entrada \( a_{23} = \frac{2}{5} \):

\[
F_2 \leftarrow F_2 - \frac{2}{5}F_3
\]

Esto nos da la matriz identidad en el lado izquierdo, y el lado derecho se convierte en la **matriz inversa**:

\[
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{4}{3} & -\frac{7}{9} \\
0 & 1 & 0 & \frac{5}{6} & -\frac{7}{3} & \frac{5}{9} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{5}{6} & \frac{10}{6} & -\frac{5}{18} \\
\end{array} \right)
\]

#### Resultado final:
La **matriz inversa** de \( D \) es:

\[
D^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{6} & \frac{4}{3} & -\frac{7}{9} \\
\frac{5}{6} & -\frac{7}{3} & \frac{5}{9} \\
-\frac{5}{6} & \frac{5}{3} & -\frac{5}{18}
\end{pmatrix}
\]

---

¿Te gustaría más detalles sobre el método de Gauss-Jordán o alguna parte en particular de los pasos? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se verifican las operaciones elementales en matrices?
2. ¿Qué otros métodos se pueden usar para encontrar la inversa de una matriz?
3. ¿Por qué es importante que la matriz sea cuadrada para tener inversa?
4. ¿Qué sucede si una matriz no tiene inversa (es singular)?
5. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la matriz inversa?

**Tip:** Siempre puedes verificar el resultado de la matriz inversa multiplicándola por la matriz original; el resultado debe ser la matriz identidad.

Calcule la matriz inversa mediante la aplicación del algoritmo de eliminación de Gauss-Jordán paso a paso utilizando la siguiente matriz D = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -4 \\ 0 & 5 & 2 \\ -3 & 0 & 6 \end{pmatrix}

Learn how to calculate the inverse of matrix D = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -4 \\ 0 & 5 & 2 \\ -3 & 0 & 6 \end{pmatrix} using the Gauss-Jordan elimination method. This step-by-step guide covers key linear algebra concepts and row operations for matrix inversion, suitable for university-level students.

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