
Dữ liệu về năng suất (tạ/ha) của cây trồng và lượng phân bón (tạ/ha) qua 10 năm (1990-1999)
như sau:
Năm 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
Phân bón (Xi) 6 10 12 14 16 18 22 24 26 32
Năng suất (Yi) 40 44 46 48 52 58 60 68 74 80
(a)	Ước lượng mô hình hồi quy tuyến tính giữa năng suất và phân bón.

(b)	Giải thích ý nghĩa của các hệ số hồi quy.
(c)	Tính hệ số xác định R2 và giải thích. Kiểm định mô hình với mức ý nghĩa 5%.
(d)	Với mức ý nghĩa 5%, phân bón có ảnh hưởng đến năng suất không?
(e)	Có ý kiến cho rằng: khi phân bón tăng thêm 1 tạ/ha, năng suất trung bình tăng 2 tạ/ha. Với mức ý nghĩa 5%, hãy nhận xét về ý kiến này.
(f)	Dự đoán năng suất trung bình và năng suất cá biệt khi phân bón là 20 tạ/ha, với độ tin cậy 95%.
(g)	Viết hàm hồi quy tuyến tính mẫu của Y theo X, khi đơn vị tính của Y là tạ/ha và của X là kg/ha.


### (a) **Ước lượng mô hình hồi quy tuyến tính giữa năng suất (Y) và phân bón (X)**

Để ước lượng mô hình hồi quy tuyến tính, ta sử dụng phương trình hồi quy tuyến tính đơn giản có dạng:

\[
Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i
\]

Trong đó:
- \( Y_i \): Năng suất của cây trồng (tạ/ha),
- \( X_i \): Lượng phân bón (tạ/ha),
- \( \beta_0 \): Hệ số chặn (Intercept),
- \( \beta_1 \): Hệ số góc (Slope) – phản ánh sự thay đổi trung bình của \( Y \) khi \( X \) thay đổi.

Sử dụng dữ liệu đã cho về phân bón và năng suất, ta sẽ tính toán hệ số hồi quy \( \beta_0 \) và \( \beta_1 \) bằng phương pháp bình phương tối thiểu. Các công thức tính toán:

\[
\beta_1 = \frac{n \sum X_i Y_i - \sum X_i \sum Y_i}{n \sum X_i^2 - (\sum X_i)^2}
\]
\[
\beta_0 = \frac{\sum Y_i - \beta_1 \sum X_i}{n}
\]

Ở đây, \( n = 10 \) là số năm (1990-1999). Ta cần tính tổng của các biến và từ đó tính \( \beta_0 \) và \( \beta_1 \).

### (b) **Giải thích ý nghĩa của các hệ số hồi quy**

- \( \beta_0 \): Là hệ số chặn, nghĩa là năng suất dự báo khi lượng phân bón là 0. Giá trị này đại diện cho năng suất trung bình mà cây trồng có thể đạt được khi không sử dụng phân bón.
- \( \beta_1 \): Là hệ số góc, phản ánh mức thay đổi trung bình của năng suất khi lượng phân bón tăng thêm 1 tạ/ha. Nói cách khác, nó cho biết cứ tăng thêm 1 tạ phân bón, năng suất tăng bao nhiêu tạ/ha.

### (c) **Tính hệ số xác định \( R^2 \) và kiểm định mô hình**

- Hệ số xác định \( R^2 \) đo lường mức độ phù hợp của mô hình, cho biết bao nhiêu phần trăm sự biến thiên của \( Y \) (năng suất) được giải thích bởi biến \( X \) (phân bón).
  
\[
R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}
\]

Trong đó:
- \( SS_{res} \) là tổng bình phương phần dư (Residual Sum of Squares),
- \( SS_{tot} \) là tổng bình phương tổng (Total Sum of Squares).

Chúng ta cũng sẽ tiến hành kiểm định mô hình hồi quy ở mức ý nghĩa 5% (α = 0.05) bằng cách sử dụng kiểm định t (t-test) cho hệ số \( \beta_1 \). Nếu p-value nhỏ hơn 0.05, thì có thể kết luận rằng biến phân bón có ảnh hưởng đáng kể đến năng suất.

### (d) **Phân bón có ảnh hưởng đến năng suất không?**

Với mức ý nghĩa 5%, chúng ta sẽ kiểm định giả thuyết:

- \( H_0 \): \( \beta_1 = 0 \) (Phân bón không ảnh hưởng đến năng suất),
- \( H_1 \): \( \beta_1 \neq 0 \) (Phân bón có ảnh hưởng đến năng suất).

Kiểm định t và p-value sẽ giúp kết luận xem có đủ bằng chứng để bác bỏ giả thuyết \( H_0 \) hay không.

### (e) **Nhận xét về ý kiến "khi phân bón tăng thêm 1 tạ/ha, năng suất trung bình tăng 2 tạ/ha"**

Chúng ta sẽ kiểm tra ý kiến này bằng cách kiểm định giả thuyết:

- \( H_0 \): \( \beta_1 = 2 \),
- \( H_1 \): \( \beta_1 \neq 2 \).

Sử dụng kiểm định t cho hệ số \( \beta_1 \) với mức ý nghĩa 5%, từ đó xem xét liệu có đủ bằng chứng để chấp nhận hay bác bỏ ý kiến này.

### (f) **Dự đoán năng suất trung bình và cá biệt khi phân bón là 20 tạ/ha, với độ tin cậy 95%**

Dự đoán năng suất trung bình \( \hat{Y} \) khi \( X = 20 \) sử dụng mô hình hồi quy đã ước lượng. Công thức:

\[
\hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 \times 20
\]

Để tính khoảng tin cậy 95%, ta cần tính độ lệch chuẩn của phần dư và dựa trên phân phối t với \( n - 2 \) bậc tự do để xác định khoảng tin cậy cho giá trị dự đoán.

### (g) **Viết hàm hồi quy tuyến tính khi đơn vị của Y là tạ/ha và của X là kg/ha**

Đổi đơn vị của biến \( X \) từ tạ/ha sang kg/ha bằng cách nhân với 1000. Do đó, phương trình hồi quy mới sẽ có dạng:

\[
Y_i = \beta_0 + \beta_1' X_i'
\]

Trong đó \( X_i' \) là lượng phân bón tính bằng kg/ha. Hệ số \( \beta_1' \) sẽ là hệ số \( \beta_1 \) ban đầu chia cho 1000.

---

**Bạn có muốn tôi tính toán cụ thể các hệ số hồi quy cho bài toán này không?**

### Câu hỏi liên quan:
1. Làm thế nào để kiểm định giả thuyết về hệ số hồi quy?
2. Cách tính toán cụ thể cho hệ số xác định \( R^2 \)?
3. Tại sao lại sử dụng kiểm định t cho các hệ số hồi quy?
4. Làm thế nào để dự đoán giá trị cá biệt trong mô hình hồi quy?
5. Ý nghĩa của khoảng tin cậy trong dự đoán là gì?

**Tip**: Khi kiểm định mô hình hồi quy, việc xem xét p-value rất quan trọng để đánh giá mức độ phù hợp của biến giải thích đối với biến phụ thuộc.

Dữ liệu về năng suất (tạ/ha) của cây trồng và lượng phân bón (tạ/ha) qua 10 năm (1990-1999) như sau: Năm 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Phân bón (Xi) 6 10 12 14 16 18 22 24 26 32 Năng suất (Yi) 40 44 46 48 52 58 60 68 74 80 (a) Ước lượng mô hình hồi quy tuyến tính giữa năng suất và phân bón. (b) Giải thích ý nghĩa của các hệ số hồi quy. (c) Tính hệ số xác định R2 và giải thích. Kiểm định mô hình với mức ý nghĩa 5%. (d) Với mức ý nghĩa 5%, phân bón có ảnh hưởng đến năng suất không? (e) Có ý kiến cho rằng: khi phân bón tăng thêm 1 tạ/ha, năng suất trung bình tăng 2 tạ/ha. Với mức ý nghĩa 5%, hãy nhận xét về ý kiến này. (f) Dự đoán năng suất trung bình và năng suất cá biệt khi phân bón là 20 tạ/ha, với độ tin cậy 95%. (g) Viết hàm hồi quy tuyến tính mẫu của Y theo X, khi đơn vị tính của Y là tạ/ha và của X là kg/ha.

Perform linear regression analysis on crop yield (tạ/ha) and fertilizer usage (tạ/ha) data from 1990-1999. Understand key concepts such as regression coefficients, R², and hypothesis testing. Suitable for statistics students at an undergraduate level.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation