Para la función que se le muestra a continuación, determine el criterio de la inversa e indique dominio y ´ámbito de la nueva función. g:−52,+∞→[−2,+∞[ ; g(x) = 3√4x+ 2

Para determinar la inversa de la función \( g(x) = \sqrt[3]{4x + 2} \) y determinar su dominio y ámbito, sigamos los pasos necesarios.

### 1. Definir la función original y su dominio y ámbito

Dada la función:
\[
g: (-\frac{5}{2}, +\infty) \rightarrow [-2, +\infty)
\]
\[
g(x) = \sqrt[3]{4x + 2}
\]

**Dominio de \( g(x) \)**: \( x \in (-\frac{5}{2}, +\infty) \). Esto es porque para que \( g(x) \) esté bien definida y tome valores en \([ -2, +\infty )\), \( 4x + 2 > -\infty \).

**Ámbito de \( g(x) \)**: \( y \in [-2, +\infty) \). Esto es porque la función cúbica tiene como salida todos los valores reales y como \( g(x) \) está definida para valores de \( x \) mayores que \(-\frac{5}{2}\), su ámbito estará restringido a \( [-2, +\infty) \).

### 2. Encontrar la función inversa

Para hallar la inversa de \( g(x) \), resolvemos la ecuación para \( x \) en términos de \( y \).

\[
y = \sqrt[3]{4x + 2}
\]

Ahora, cubamos ambos lados para eliminar la raíz cúbica:

\[
y^3 = 4x + 2
\]

Restamos 2 a ambos lados:

\[
y^3 - 2 = 4x
\]

Dividimos por 4 para despejar \( x \):

\[
x = \frac{y^3 - 2}{4}
\]

Por lo tanto, la función inversa es:

\[
g^{-1}(y) = \frac{y^3 - 2}{4}
\]

### 3. Determinar dominio y ámbito de la función inversa

**Dominio de \( g^{-1}(y) \)**: El dominio de la función inversa será el mismo que el ámbito de la función original \( g(x) \). Por lo tanto:

\[
\text{Dominio de } g^{-1}(y) = [-2, +\infty)
\]

**Ámbito de \( g^{-1}(y) \)**: El ámbito de la función inversa será el dominio de la función original \( g(x) \), que es:

\[
\text{Ámbito de } g^{-1}(y) = \left( -\frac{5}{2}, +\infty \right)
\]

### Resumen de la función inversa

La función inversa es:
\[
g^{-1}(y) = \frac{y^3 - 2}{4}
\]
con:
- **Dominio**: \( [-2, +\infty) \)
- **Ámbito**: \( \left( -\frac{5}{2}, +\infty \right) \)

---

¿Te gustaría detalles adicionales o alguna pregunta sobre el proceso?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la restricción del dominio al cálculo de la inversa?
2. ¿Qué sucede si el ámbito no está correctamente especificado en una función?
3. ¿Cómo se determina si una función tiene una inversa?
4. ¿Qué otras funciones tienen dominios restringidos como este caso?
5. ¿Cómo se verifica si la función inversa es correcta?
6. ¿Qué papel juega la función cúbica en la determinación del ámbito?
7. ¿Cómo afectan las operaciones algebraicas al ámbito de la función inversa?
8. ¿Qué significa que una función sea biyectiva en el contexto de la inversa?

### Tip:
Recuerda que no todas las funciones tienen una inversa. Una función debe ser inyectiva y sobreyectiva (es decir, biyectiva) para que exista una función inversa.

Explore the inverse function of g(x) = cube root of (4x + 2) with detailed steps. Understand its domain and range implications. Suitable for advanced high school students and learners interested in calculus and function theory.

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