La integral de \(\sqrt{7x + 2}\) con respecto a \(x\) se puede resolver usando una sustitución adecuada. Aquí están los pasos detallados:

1. **Sustitución**:  
   Sea \( u = 7x + 2 \).  
   Entonces, \( du = 7 \, dx \) o \( dx = \frac{du}{7} \).

2. **Reescritura de la integral**:  
   La integral original se convierte en:
   \[
   \int \sqrt{7x + 2} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{7}
   \]
   \[
   = \frac{1}{7} \int \sqrt{u} \, du
   \]

3. **Integración**:  
   Ahora, integramos \(\sqrt{u}\) con respecto a \(u\):
   \[
   \int \sqrt{u} \, du = \int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}
   \]
   
4. **Sustituyendo de nuevo**:  
   Regresamos a la variable original \(x\):
   \[
   \frac{1}{7} \cdot \frac{2}{3} \cdot (7x + 2)^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{21} (7x + 2)^{\frac{3}{2}} + C
   \]

Entonces, la integral es:
\[
\int \sqrt{7x + 2} \, dx = \frac{2}{21} (7x + 2)^{\frac{3}{2}} + C
\]

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se resuelve la integral de \( \sqrt{ax + b} \) en términos generales?
2. ¿Qué sucede si \( 7x + 2 \) está en el denominador de una fracción?
3. ¿Cómo se integra una función similar pero con una potencia diferente, como \( (7x + 2)^{n} \)?
4. ¿Qué otros métodos de integración se podrían usar para resolver esta integral?
5. ¿Cómo afecta un cambio en los límites de integración a la solución de esta integral?

**Tip**: En muchas integrales, la sustitución es una herramienta poderosa para simplificar el proceso de integración.

Explore how to integrate the square root of 7x + 2 using substitution method with a detailed step-by-step solution. This problem involves integral calculus and substitution rules, suitable for advanced high school or college-level students.

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