 Hallar la ecuaci´on general del plano que contiene al eje Y y al punto P(1, 2, 5).

Para hallar la ecuación general del plano que contiene al eje **Y** y al punto \( P(1, 2, 5) \), debemos seguir los siguientes pasos:

1. **Determinación de dos vectores en el plano:**
   - El plano contiene al eje **Y**, por lo tanto, cualquier punto sobre el eje **Y** tiene la forma \( (0, y, 0) \), donde \( y \) es cualquier valor real. Un vector director del eje **Y** es \( \vec{v_1} = (0, 1, 0) \).
   - Otro punto que está en el plano es \( P(1, 2, 5) \). Entonces, podemos calcular un vector desde un punto sobre el eje **Y**, por ejemplo \( (0, 0, 0) \), hasta \( P(1, 2, 5) \). Ese vector es:
   \[
   \vec{v_2} = P - (0, 0, 0) = (1, 2, 5)
   \]

2. **Producto cruzado para obtener el vector normal al plano:**
   El vector normal \( \vec{n} \) al plano es perpendicular a ambos vectores \( \vec{v_1} \) y \( \vec{v_2} \). Para encontrarlo, calculamos el producto cruzado de \( \vec{v_1} = (0, 1, 0) \) y \( \vec{v_2} = (1, 2, 5) \):
   \[
   \vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = 
   \begin{vmatrix}
   \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
   0 & 1 & 0 \\
   1 & 2 & 5
   \end{vmatrix}
   \]
   Calculamos el determinante:
   \[
   \vec{n} = (1(5) - 0(2))\hat{i} - (0(5) - 0(1))\hat{j} + (0(2) - 1(1))\hat{k} = (5, 0, -1)
   \]
   Por lo tanto, el vector normal es \( \vec{n} = (5, 0, -1) \).

3. **Ecuación del plano:**
   La ecuación general de un plano es:
   \[
   A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
   \]
   donde \( (x_0, y_0, z_0) \) es un punto en el plano (en este caso \( P(1, 2, 5) \)), y \( (A, B, C) \) son las componentes del vector normal \( \vec{n} = (5, 0, -1) \).

   Reemplazando en la fórmula:
   \[
   5(x - 1) + 0(y - 2) - 1(z - 5) = 0
   \]
   Simplificamos la ecuación:
   \[
   5(x - 1) - (z - 5) = 0
   \]
   \[
   5x - 5 - z + 5 = 0
   \]
   \[
   5x - z = 0
   \]
   La ecuación general del plano es:
   \[
   5x - z = 0
   \]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se usa el producto cruzado para determinar la perpendicularidad entre vectores?
2. ¿Cómo podemos verificar si un punto adicional pertenece a un plano dado?
3. ¿Qué significa geométricamente el vector normal de un plano?
4. ¿Cómo influye la posición del eje Y en la forma de la ecuación del plano?
5. ¿Qué ocurre si el punto dado estuviera sobre el eje Y?

**Tip:** Al usar el producto cruzado, siempre obtendrás un vector perpendicular a los vectores originales, lo que es útil para encontrar normales en problemas de planos.

Hallar la ecuación general del plano que contiene al eje Y y al punto P(1, 2, 5).

Find the general equation of the plane that contains the Y-axis and passes through point P(1, 2, 5). This problem involves vector geometry, cross products, and the general equation of a plane. Suitable for students in Grades 10-12.

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