Exercice 14. Soient a1,...,an dans N∗ et bj = Πi̸=jai. Montrer que les ai sont premiers entre eux deux `a deux si et seulement si les bj sont premiers entre eux dans leur ensemble.


L'exercice nous demande de démontrer une condition d'équivalence entre deux propriétés d'un ensemble de nombres. Soient \( a_1, a_2, \dots, a_n \) des entiers naturels non nuls (\( \mathbb{N}^* \)), et pour chaque \( j \), définissons \( b_j = \prod_{i \neq j} a_i \). Nous devons montrer que les \( a_i \) sont premiers entre eux deux à deux (c’est-à-dire, \( \gcd(a_i, a_j) = 1 \) pour tous \( i \neq j \)) si et seulement si les \( b_j \) sont premiers entre eux dans leur ensemble (c'est-à-dire, \( \gcd(b_i, b_j) = 1 \) pour tous \( i \neq j \)).

### Sens direct : Les \( a_i \) sont premiers entre eux deux à deux implique que les \( b_j \) sont premiers entre eux.
Supposons que les \( a_i \) sont premiers entre eux deux à deux, c'est-à-dire que pour tout \( i \neq j \), on a \( \gcd(a_i, a_j) = 1 \).

Prenons deux indices \( i \) et \( j \) distincts, et considérons \( b_i = \prod_{k \neq i} a_k \) et \( b_j = \prod_{k \neq j} a_k \). 

Soit \( p \) un diviseur premier commun de \( b_i \) et \( b_j \). Cela signifie que \( p \) divise tous les \( a_k \) sauf peut-être \( a_i \) pour \( b_i \) et sauf peut-être \( a_j \) pour \( b_j \). Cependant, si \( p \) divisait à la fois \( b_i \) et \( b_j \), cela impliquerait que \( p \) divise tous les \( a_k \), et en particulier \( a_i \) et \( a_j \), ce qui contredit l'hypothèse que \( a_i \) et \( a_j \) sont premiers entre eux (\( \gcd(a_i, a_j) = 1 \)). Par conséquent, il ne peut exister de premier commun \( p \) divisant à la fois \( b_i \) et \( b_j \), ce qui implique que \( \gcd(b_i, b_j) = 1 \) pour tout \( i \neq j \).

### Sens réciproque : Les \( b_j \) sont premiers entre eux implique que les \( a_i \) sont premiers entre eux deux à deux.
Supposons maintenant que les \( b_j \) sont premiers entre eux, c'est-à-dire que \( \gcd(b_i, b_j) = 1 \) pour tout \( i \neq j \).

Nous devons montrer que \( \gcd(a_i, a_j) = 1 \) pour tout \( i \neq j \). Raisonnons par l'absurde. Supposons qu'il existe deux indices \( i \) et \( j \) tels que \( \gcd(a_i, a_j) = d > 1 \). Cela signifie qu'il existe un diviseur commun \( d \) entre \( a_i \) et \( a_j \). Alors, ce diviseur \( d \) diviserait \( b_i \) et \( b_j \), car \( b_i \) est le produit de tous les \( a_k \) sauf \( a_i \), et \( b_j \) est le produit de tous les \( a_k \) sauf \( a_j \). Donc, \( d \) diviserait à la fois \( b_i \) et \( b_j \), ce qui contredit l'hypothèse que \( \gcd(b_i, b_j) = 1 \). Par conséquent, notre supposition est fausse, et il doit être vrai que \( \gcd(a_i, a_j) = 1 \) pour tout \( i \neq j \).

### Conclusion
Nous avons donc montré que les \( a_i \) sont premiers entre eux deux à deux si et seulement si les \( b_j \) sont premiers entre eux dans leur ensemble.

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Voici 5 questions connexes pour approfondir ce concept :

1. Comment généraliser ce raisonnement pour des ensembles infinis de nombres ?
2. Que se passe-t-il si certains \( a_i \) sont égaux dans l'ensemble ?
3. Comment cette propriété se traduit-elle dans le cadre des anneaux polynomiaux ?
4. Peut-on utiliser cette méthode pour trouver des nombres premiers dans une famille de nombres donnés ?
5. Est-il possible de caractériser les ensembles de nombres qui satisfont cette propriété via des relations multiplicatives spécifiques ?

**Astuce** : La relation entre les \( b_j \) et les \( a_i \) repose sur la structure multiplicative du produit des \( a_i \). Analyser les relations de divisibilité est une clé pour résoudre ce type de problème.

Exercice 14. Soient a1,...,an dans N∗ et bj = Πi̸=jai. Montrer que les ai sont premiers entre eux deux `a deux si et seulement si les bj sont premiers entre eux dans leur ensemble.

Explore a detailed proof showing that a set of natural numbers a1,...,an are pairwise coprime if and only if the products bj = Π(i ≠ j) ai are coprime as a group. This problem touches on key concepts in number theory such as GCD and the properties of prime numbers. Ideal for undergraduate math students.

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