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Este ejercicio se refiere al uso del **método de punto fijo** para determinar las alturas estables \( h \) en un tanque esférico dado un volumen \( V \) y un radio \( r \). El problema plantea dos fórmulas que puedes iterar en el método de punto fijo y te pide que determines si alguna de las soluciones es estable.

Las dos fórmulas para el método de punto fijo son:

1. \( h = \sqrt{\dfrac{h^3 + \dfrac{3V}{\pi}}{3r}} \)
2. \( h = \sqrt[3]{\dfrac{3}{r} \left( rh^2 - \dfrac{V}{\pi} \right)} \)

El problema da los siguientes valores:
- Radio \( r = 1 \, \text{m} \)
- Volumen \( V = 0.75 \, \text{m}^3 \)

### Procedimiento para analizar estabilidad:

1. **Método de iteración de punto fijo:**
   Para verificar si el método es estable, debes evaluar si las fórmulas convergen a un valor fijo cuando aplicas iteraciones sucesivas. Esto puede determinarse analizando la derivada de las funciones de punto fijo con respecto a \( h \). Si el valor absoluto de la derivada en el punto de interés es menor que 1, el método es estable en ese punto.

2. **Sustitución de valores:**
   Inserta los valores dados \( r = 1 \, \text{m} \) y \( V = 0.75 \, \text{m}^3 \) en las fórmulas para determinar si una altura es estable.

### Sustituyendo en la primera fórmula:

\[
h = \sqrt{\dfrac{h^3 + \dfrac{3(0.75)}{\pi}}{3(1)}} = \sqrt{\dfrac{h^3 + \dfrac{2.25}{\pi}}{3}}
\]

### Sustituyendo en la segunda fórmula:

\[
h = \sqrt[3]{\dfrac{3}{1} \left( 1h^2 - \dfrac{0.75}{\pi} \right)} = \sqrt[3]{3 \left( h^2 - \dfrac{0.75}{\pi} \right)}
\]

### Iteración y análisis de estabilidad:
Aplicando estas fórmulas de manera iterativa desde valores iniciales razonables de \( h \), puedes observar si las iteraciones convergen a una solución estable. Además, evaluando las derivadas de estas funciones en los puntos donde convergen, puedes determinar el rango de estabilidad.

Si deseas que realice el cálculo numérico de la iteración para determinar la estabilidad, puedo hacerlo.

¿Te gustaría que realice las iteraciones numéricas para ambas fórmulas o necesitas más detalles?

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**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se aplica el método de punto fijo en general?
2. ¿Qué criterios determinan la estabilidad en el método de punto fijo?
3. ¿Cómo afecta el valor inicial de \( h \) a la convergencia del método de punto fijo?
4. ¿Qué técnicas adicionales se pueden usar para mejorar la convergencia de la iteración?
5. ¿Cómo se interpreta el resultado de la derivada en relación con la estabilidad?

**Tip:** Al usar métodos iterativos como el de punto fijo, es importante escoger valores iniciales cercanos al punto de convergencia para asegurar estabilidad.

Para el tanque esférico del problema, determina si cualquiera de las dos alturas es estable, y el rango de valores iniciales para los que sí son estables. Los valores son r = 1 m y V = 0.75 m³.

Learn how to apply fixed-point iteration to find stable heights for a spherical tank with volume V = 0.75 m³ and radius r = 1 m. Includes an analysis of convergence and stability for two nonlinear formulas.

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